Gamma函数深入理解

Gamma函数

当n为正整数时,n的阶乘定义如下:n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 2 * 1。

当n不是整数时,n!为多少?我们先给出答案。

 

容易证明,Γ(x + 1) = x * Γ(x),当n为正整数时,显然有Γ(n) = (n – 1)!。

计算(1/2)!

先给一个神奇的公式,证明不详述。

(1)

定义如下函数

 

令上式p = 1,q = 1/2,同时根据对称性原理,有

(2)

 

同时容易证明

(3)

令p = 1/2,结合(2)(3)式,有

 

 

由于B关于q递增,则

对m取极限,有

 

根据夹逼定理,则

 

 

结合公式(1),有

 

 

n!的通用公式

整数n!序列如下

n

1

2

3

4

5

n!

1

2

6

24

120

我们把这些点用光滑曲线连接起来,得到如下图形

 

求n!的通用公式,即求该曲线的函数表达式。由于需要把阶乘推广到实数,所以最终求得的函数中不能包含阶乘运算。

 

欧拉最终解决了n!通用公式的问题,他通过研究如下函数找到了解决办法

 

此处 n 为正整数,e 为正实数。利用分部积分法,很容易证明

 

连续使用上面递推公式,有

 

于是欧拉得到如下重要公式。

 

欧拉应用各种参数替换数学技巧与极限思想,成功推导出Gamma函数。

 

Gamma函数图像如下

 

Gamma函数的应用

由于Gamma函数在实数域具有阶乘性质:Γ(x + 1) = x * Γ(x),所以可以把很多具有阶乘性质得自然数应用推广到实数域,离散特性推广为连续特性。比如对函数的整数次求导推广到实数次求导,二项分布推广为Beta分布。Gamma函数与泊松分布等共轭,Gamma函数在数论以及高维空间计算球体积中也有应用。

 

参考:

http://www.flickering.cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B9%8B%E7%BE%8E/2014/06/%E7%A5%9E%E5%A5%87%E7%9A%84%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8A/

http://www.flickering.cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B9%8B%E7%BE%8E/2014/07/%E7%A5%9E%E5%A5%87%E7%9A%84%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%8B/

posted @ 2018-09-16 01:55  coshaho  阅读(22382)  评论(0编辑  收藏