hdu 3555 Bomb(数位DP)

经过这个题目对数位DP有了一个新的理解，对于本题而言，求1 ~ n中含 49 的数字个数，比如求解1 ~ 581，数位DP是可以这样来理解的，首先将数字581拆分，三位数分别是5、8、1，也就是说百位不大于5，十位不大于8，个位不大于1，但是如果百位小于5，十位和个位就没有限制，所以可以将区间1 ~ 581拆开，分成1 ~ 499（百位数字小于5）、500 ~ 579（百位为5，十位数字小于8）、580（百位为5，十位是8，个位小于1）和581分成四个部分，以次计算每一个区间求和即可。

用dp数组定义状态，dp[ i ][ j ]表示长度为 i 状态为 j 的数字个数，状态 j 有三个，分别是0、1、2，分别表示不含49的全部数字、不含49但是最高位为9的全部数字、含49的全部数字

转移方程很容易理解

dp[i][0] = dp[i - 1][0] * 10 - dp[i - 1][1];

长度为 i 不含49的全部数字可以由长度 i - 1不含49的数字转变而来，只需要在最高位前面随便填一个0 ~ 9的数字即可，但是可能会有一种情况出现49，就是我们填了一个4，而原来的最高位是9，因此应该减去dp[i - 1][1]

dp[i][1] = dp[i - 1][0];

长度为 i 最高位是9且不含49的状态可以从长度为 i - 1 不含49的任何一个数字转变过来，只需要在最高位添加一个9即可

dp[i][2] = dp[i - 1][2] * 10 + dp[i - 1][1];

对于长度为 i 含49的数字个数，首先可以是长度为 i - 1 含49的状态转移过来，在最高位随便添加一个数都行，因此需要乘以10，其次，对于最高位已经是9的状态，可以添加一个4转移过来，因此加上dp[i - 1][1]

我们将这个数组预处理后方便后面计算

在计算的时候，按照数字的位数，一位一位进行计算，从最高位开始

res 初始值为0 ，标记 f 为 false

首先最高位的长度数字为a，那么不超过它的数字个数就有0 ~ a - 1 一共a个，显然最高位随便写0 ~ a - 1之间的任何一个数字，对于dp[i - 1][2]而言都可以，所以res += dp[i - 1][2] * a;

如果当前出现过连续的两个数字一前一后分别是4、9 (对应标记 f 的值是 true) ，那么对于我们后面需要遍历的每一位而言，随便填写一个数字都可以，而且后面不一定需要再出现49，所以res += dp[i - 1][0] * a;

如果没有出现过，并且当前位最大没有限制的值大于4，说明对于长度 i - 1而言，只要最高位是9，在前面添加一个4即可，所以res += dp[i - 1][1];（因为如果前面的条件成立，那么当前的值就已经被计算进去了，dp[i - 1][0]包含dp[i - 1][1]，不必重复计算）

如果当前出现了一前一后两个数分别是4、9，就将标记设为 true

最后输出 res 即可

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll t, n;
ll dp[30][4], a[33];
void csh(){
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 25; i++){
		dp[i][0] = dp[i - 1][0] * 10 - dp[i - 1][1];
		dp[i][1] = dp[i - 1][0];
		dp[i][2] = dp[i - 1][2] * 10 + dp[i - 1][1];
	}
}

int getlen(ll num){
	memset(a, 0, sizeof a);
	int len = 0;
	while (num){
		a[++len] = num % 10;
		num /= 10;
	}
	return len;
}
int main()
{
	csh();
	scanf("%lld", &t);
	while (t--){
		scanf("%lld", &n);
		ll res = 0;
		int len = getlen(n + 1);
		bool f = 0;
		for (int i = len; i >= 1; i--){
			res += dp[i - 1][2] * a[i];
			if(f)res += dp[i - 1][0] * a[i];
			else if(a[i] > 4){
				res += dp[i - 1][1];
			}
			if(a[i] == 9 && a[i + 1] == 4)f = 1;
		}
		printf("%lld\n", res);
	}
	return 0;
}