石子合并 （区间DP）

题目链接

描述    

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。
输入
第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开
输出
输出总代价的最小值，占单独的一行
样例输入
 

3
1 2 3

样例输出

9

首先从集合的角度考虑状态，用 f [i, j] 应该表示的是怎样一个状态，因为最后要合并的是全部的石子，合并石子的方案有很多，我们可以用 f [i, j] 表示第 i 到 j 区间内的石子合并的全部方案，用 f [i, j] 的值表示所有方案中的最小代价，因此初始化时应该把 f 数组初始化为极大值，考虑状态转移，f [i, j] 一定可以由 i 到 j 中间一个点分开，分成两堆，再次合并，因此假设从 k 这个点分成两半，即有 f [i, j] = min(f [i, k - 1] + f[k, j] + 两堆石子合并的代价），两堆石子合并的代价就是区间 i 到 j 内的和，可以用前缀和的方式快速求解，方程虽然这样写，但是并不能以直接枚举区间的起点和终点，因为我们要保证在计算当前状态时，所需要的状态都被计算过了，可以枚举区间长度，从小到大，在计算大长度区间时所需要的小长度一定被计算过了，然后枚举起点，最后枚举中间的断点 k 即可

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 310;
int a[N], f[N][N], sum[N];
int n;
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	
	for (int len = 1; len <= n; len++){
		for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++){
			int r = l + len - 1;
			for (int k = l; k <= r; k++){
				if(k - 1 >= l)f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k - 1] + f[k][r] + sum[r] - sum[l - 1]);
				if(l == r)f[l][r] = 0;
			}
		}
	}
	printf("%d\n", f[1][n]);
	return 0;
}