3.15 模拟赛T1题解

重要结论：\(b\geq 4\) 的所有情况都会在 \(b=2\) 或 \(b=3\) 的时候算过。
证明：

• 若 \(p\) 为偶数，\(ka^p\to k(a^2)^{\frac{p}{2}}\)
• 若 \(p\) 为奇数，\(ka^{p}\to ka(a^2)^{\frac{p-1}{2}}\)

对于 \(b=2\)，\(k\) 的上限为 \(n^{\frac{1}{3}}\)，因此考虑枚举不含平方因子的 \(k\)，\(a\) 的数量就容易计算了。
对于 \(b=3\) 同理，但是会有算重的情况。
考虑 \(ka^3\) 什么时候不能表示成 \(ka'^2\)，记 \(mx(a)\) 表示最大的 \(x\) 满足 \(x^2|a\)。
那么当 \(mx(ka^3)\leq \frac{ka^3}{mx^2(ka^3)}\)，即 \(mx(ka^3)\leq (ka^3)^{\frac{1}{3}}\)，即 \(mx(ka)\leq k^{\frac{1}{3}}\)。
答案写为：

\[\sum_{k=1}^{n^{\frac{1}{4}}}[k不含立方因子]\sum_{a=k+1}^{(\frac{n}{k})^{\frac{1}{3}}}[mx(ka)\leq k^{\frac{1}{3}}] \]

考虑拆开 \(mx(ka)\)，令 \(x=\frac{k}{mx^2(k)},g=\gcd(x,a)\)，得到 \(mx(ka)=mx(k)mx(\frac{a}{g})g\)，然后枚举 \(g\)，代入上面的式子：

\[\sum_{k=1}^{n^{\frac{1}{4}}}[k不含立方因子]\sum_{g|x}\sum_{a=k+1}^{(\frac{n}{k})^{\frac{1}{3}}}[\gcd(a,x)=g][mx(\frac{a}{g})\leq \frac{k^{\frac{1}{3}}}{mx(k)g}] \]

把 \(\gcd\) 莫比乌斯反演掉：

\[\sum_{k=1}^{n^{\frac{1}{4}}}[k不含立方因子]\sum_{g|x}\sum_{p|\frac{x}{g}}\mu(p)\sum_{a=\frac{k}{g}+1,p|a}^{\frac{(\frac{n}{k})^{\frac{1}{3}}}{g}}[mx(a)\leq \frac{k^{\frac{1}{3}}}{mx(k)g}] \]

考虑到上限都很小，直接枚举 \(k,g,p\)，现在就要算最右边那坨式子。
事实上直接暴力枚举 \(a\) 实测在 lemon 上 1.3s 跑过，但在 FTOJ 上跑得贼慢。
考虑到 \(mx(a)\) 的上限是 \(\mathcal{O}(n^{\frac{1}{12}})\)，我们对于 \(p\leq 5\) 预处理出所有上限的可能的 \(a\) 的前缀和，对于 \(p>5\) 的直接暴力，实测 lemon 上 0.7s，FTOJ 上 1.8s。