AGC028B题解

提供一个不用期望的做法。
考虑一个区间 \([l,r]\) 的贡献，就是这段区间的和乘上有多少排列的权值要用到这段区间。
现在讨论有多少排列的权值有这段区间。
这段区间会被用到当且仅当 \(l-1\) 和 \(r+1\) 均出现在 \(l\sim r\) 的前面，即把这个区间分裂出来。
为了避免出错，这里进行分类讨论：

• 如果这个区间靠边，则仅需要 \(l-1\) 或 \(r+1\) 在前面，个数为 \(\frac{n!}{len+1}\)（\(len\) 为区间长度）。
• 如果这个区间不靠边，则需要 \(l-1\) 或 \(r+1\) 都在区间前面出现，个数为 \(\frac{2n!}{(len+1)(len+2)}\)。
  关于这个式子的理解：
  先只考虑 \(l-1\)，方案数为 \(\frac{n!}{len+1}\)，现在对于 \(l-1\) 和这个区间的合法排列（即 \(l-1\) 出现在区间前面），\(r+1\) 有 \(len+2\) 种放法插入期间，其中合法的只有 \(2\) 种，即放在 \(l-1\) 的前面或者后面，相当于每 \(len+2\) 种方案取 \(2\) 种方案。

容易发现，这个方案数只跟区间长度及是否靠边有关，与区间的位置无关，因此现在只需要统计长度为 \(len\) 的区间的权值和，这是比较容易的，考虑每个数在长为 \(len\) 的线段从左往右滑的过程中被覆盖几次，很容易预处理。
所以枚举区间长度统计答案就行了。
细节：

• 长度为 \(n\) 的区间单独讨论。
• 在统计长度为 \(len\) 的答案时是否靠边也要讨论。