CF1725I题解

将要计数的图称为第一种图，关键树成为第二种图。

考虑从小到大考虑每个边权。

对于每个边权，当它连接到第一种图时，有两种选择。

• 什么也不做。
• 将这条边加入第二种图。

对于第一种边，它不能将两个双连通分量连接成一个双连通分量，因为这样分别在两个连通分量里的点的答案将会是这条边权（此时所有的环都有这条边，这条边目前最大，而后面加入的边都比它大），但树中并没有这条边。

对于第二种边，将其称为 \(connecter\)，它会连接树中的两个连通块，也一定会将两个双连通分量连接成一个双连通分量，并且 树中两个连通块的点要与两个双连通分量的点对应。因为对于树中的两个连通块，两个分别位于两个连通块的点，因为这条边是目前最大的，那么它们的答案都是这条边，表现在图上，所有这些点对都要有包含这条边的环。

将两个双连通分量连接成一个双连通分量，这要求有一条边已经连接了这两个分量，把这条边称为 \(helper\)，显然 \(helper\) 只能是第一种边。

因为只有 \(2N-2\) 条边，有 \(N-1\) 个 \(connecter\)，因此一个 \(helper\) 对应一个 \(connecter\)。

对于一条边，若它连接了树中 \(s_1\) 和 \(s_2\) 的两个连通块，对于 \(connecter\) 和 \(helper\) 都有 \(s_1s_2\) 种情况。

现在的任务就是为树中每条边分配 \(connecter\) 和 \(helper\)，等价于下面的问题：

现在有 \(N-1\) 种颜色染 \(2(N-1)\) 个点，且每个颜色恰好出现 \(2\) 次，且对于 \(i<j\)，有 \(i\) 最后出现的位置在 \(j\) 之前。

方案数：

\[\frac{(2N-2)!}{(2!)^{N-1}(N-1)!} \]