CF1704H1题解

做法来自官方题解。

首先，假设 \(b\) 是固定的，计算不同 \(a\) 的数量。

可以发现如下性质：

• 如果 \(b_i\neq i\)，说明 \(i\) 被 \(b_i\) 占领，一定有 \(a_{b_i}=i\)。
• 如果 \(b_i=i\)，意味着对于所有 \(a_j=i\)，\(j\) 攻击前已经被占领，那么一定有 \(b_j\neq j\)。

我们对于所有 \(b_i\neq i\)，\(i\) 向 \(b_i\) 连一条有向边，此时如果有环，一定无解。这样整个图就由若干条链构成，链尾就是所有 \(b_i=i\) 的点，一定有解。

举个例子，对于 \(5 \rightarrow 2 \rightarrow 1\rightarrow 4 \rightarrow3\)，我们可以这么安排进攻顺序：\(2\) 去攻占 \(5\)，\(1\) 去攻占 \(2\)，\(4\) 去攻占 \(1\)，\(3\) 去攻占 \(4\)。而如果有环，无论选哪个开始进攻，都会使一人在进攻前自己城堡被占领，无法攻占指定城堡。

根据性质 \(1\) ，这些链除了链头，其余 \(a\) 都是固定的。对于链长大于 \(1\) 的链头，他没有占领任何一个城堡，它的 \(a\) 可以是除本身外的任何值，因为按照例子里的攻击顺序，我们可以让他在攻击前失去城堡，这样他无法进攻，任何 \(a\) 都不会对结果有影响。而如果链长为 \(1\)，根据性质 \(2\)，他的 \(a\) 不能是其他链的链尾。

计数时，枚举链长大于 \(1\) 的个数和链长为 \(1\) 的个数，组合数算算就好了。