CF1327F题解

神奇 \(dp\)优化。

位运算每位独立，因此可以算二进制每一位的方案数，最后乘起来。

由于这样有 \(\log n\) 次计算，则每次计算复杂度必须为线性。

现在每个限制就等价于一些区间全为1，一些区间不全为1，怎么那么像冒泡排序A性质。

现在不考虑第一种限制，满足第二种限制需要每个区间里都至少有一个 \(0\)，跟 \(0\) 的位置有关。

考虑暴力\(dp\)，设 \(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个位置，最后一个 \(0\) 的位置是 \(j\)，且满足右端点小于等于 \(i\) 的所有限制的方案，设 \(l[i]\) 表示这些限制中右端点的最大值。

• 对于 \(j\in[0,l_i-1]\)，\(dp[i][j]=0\)，因为不能满足 \(l[i]\) 的限制。

• 对于 \(j\in[l_i,i-1]\)，\(dp[i][j]=dp[i-1][j]\)，因为 \(i\) 位置只能是 \(1\)。

• 对于 \(j=i\)，相当于只需要前 \(i-1\) 位满足 \(i-1\) 前面的限制。

  \[dp[i][j]=\sum_{k=l_{i-1}}^{i-1}dp[i-1][k] \]

对于第一种情况不用考虑，只用在最后统计答案时忽略掉前面。

然后发现 \(dp_i\) 相较于 \(dp_{i-1}\) 大部分都相同，只有 \(dp[i][i]\) 不同，因此只需要求 \(dp[i][i]\)。

设 \(s[i][j]=\sum_{k=1}^{j}dp[i][k]\)，则 \(dp[i][i]=s[i-1][i-1]-s[i-1][l_{i-1}-1]\)，可以 \(\mathcal{O}(1)\) 求。

而 \(l_i\) 一定单增，所以以上步骤只用从前往后扫一遍，维护 \(l_i\) 和长度为 \(n\) 的 \(s\) 数组，表示 \(dp_i\) 的前缀和，\(i\) 相较于 \(i-1\) 只有 \(s_i\) 会加上 \(dp[i][i]\)，最后答案就是 \(s[n]-s[l[n]-1]\)。

考虑限制 \(1\)，发现只用在上述步骤中跳过必须填 \(1\) 的位就行了。

至于判断某一位是否必须填 \(1\)，相当于区间覆盖 \(1\)，可以差分。