CF1237F题解

首先简化问题，在 \(1\times n\) 的棋盘中放入 \(a\) 个单格牌和 \(b\) 个双格牌的方案数（有些位置禁止放）。
考虑 \(dp\)，设 \(f_{i,j}\) 表示在前 \(i\) 个格子中放入 \(j\) 个 \(2\) 格牌的方案数。
转移：若 \(i\) 和 \(i-1\) 都能放，\(f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-2,j-1}\)，否则 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}\)。
那么最后的方案数就是 \({{cnt-2b}\choose{a}}f_{n,b}\)（\(cnt\) 是能放的格子总数）。
发现原问题，行列是独立的，在只考虑列的放置情况时，横放相当于单格牌（因为仅仅占了 \(1\) 行），竖放相当于双格牌，因此枚举横放个数和竖放个数，套用上面的式子就能计算出只考虑列的方案，但是同一个列的放置情况可能对应很多种行的放置，即每个牌可以放置在许多列。
这时发现，竖放对于行来说对应单格牌，横放对应双格牌，问题又转换成最开始的问题，因此我们对行和列分别 \(dp\)，记为 \(f,g\)。
则最后答案为 \(\sum_i\sum_j{{cnt1-2i}\choose{j}}{{cnt2-2j}\choose{i}}f_{n,i}g_{m,j}i!j!\)（阶乘是行列匹配）。