CF1043F题解

最大公约数的经典套路。

容易想到暴力 \(dp\)，\(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个数中选出 \(\gcd=j\) 的最小个数。

但事实上本题给出的序列等价于集合，应该往值域的方向思考。

由于本题值域较小，又由 \(\gcd\)，不由想到质因数。发现选出一些数互质只跟每个数的质因数种类有关，与次数无关，我们知道 \(300000\) 以内的数最多含有 \(6\) 个不同的质因数，由此可确定答案的上界。

如果一个数包含了所有目前最大公因数的质因子，那么这个数可以不要，也就是说，每选 \(1\) 个数，最大公因数的质因子必定减少 \(1\) 种，因此答案的上界为 \(7\)。

那么我们可以通过枚举答案将最值问题转化为计数问题。

现在问题转化为选出 \(k\) 个数使它们最大公因数为 \(1\) 是否可行，考虑求 \(\gcd=x\) 的方案数。

这里就有一个经典套路，先求公约数为 \(x\)，再通过容斥算出 \(\gcd=x\)，具体而言，设 \(f[i]\) 表示公约数为 \(i\) （即 \(\gcd\) 为 \(i\) 的倍数）的方案数，\(g[i]\) 表示 \(\gcd=i\) 的方案数。

\(f[i]\)很好求，\(f[i]={{cnt[i]}\choose{k}}\)，其中 \(cnt[i]\) 表示 \(a\) 中他有多少 \(i\) 的倍数。

\(g[i]=f[i]-\sum_{j=2}^{ij<N}g[i*j]\)