二阶过阻尼系统阶跃响应公式推导

对于二阶过阻尼系统，其传递函数通常可表示为两个一阶惯性环节的串联形式：

\(G(s)=\dfrac{1}{(T_1s+1)(T_2s+1)}\qquad(T_1>T_2>0)\)

其中 $T_1 $和 \(T_2\) 为系统的时间常数。以下为阶跃响应公式的详细推导过程：

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‌步骤1：写出系统的阶跃响应表达式‌

当输入为单位阶跃信号$ u(t)=1$ 时，其拉普拉斯变换为$ U(s)=\dfrac{1}{s}$。
输出响应的拉普拉斯变换为：

\(Y(s)=G(s)⋅U(s)=\dfrac{1}{s(T_1s+1)(T_2s+1)}\)

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‌步骤2：部分分式分解‌

将 Y(s) 分解为部分分式：

\(Y(s)=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{T_1s+1}+\dfrac{C}{T_2s+1}\)

通过求解系数 A,B,C：

1. ‌求 A‌：
   两边同乘 s 后令 s=0：

   \(A=\lim\limits_{⁡s\to 0}\dfrac{1}{(T_1s+1)(T_2s+1)}=1\)

2. ‌求 B‌：
   两边同乘 \(\dfrac{1}{T_1s+1}\) 后令$s=-\dfrac{1}{T_1} $​：

   \(B=\lim\limits_{⁡s\to -\frac{1}{T_1}}\dfrac{1}{s(T_2s+1)}=\dfrac{1}{(-\frac{1}{T_1})(T_2\cdot (-\frac{1}{T_1})+1)}=\dfrac{-T_1}{T_1-T_2}\)

3. ‌求 C‌：
   同理，令 \(s=−\dfrac{1}{T_2}\)​：

   \(C=\lim\limits_{s \to -\frac{1}{T_2}}\dfrac{1}{s(T_1s+1)}=\dfrac{-T_2}{T_2-T_1}=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}\)

最终部分分式展开为：

\(Y(s)=\dfrac{1}{s}+\dfrac{-T_1}{(T_1-T_2)(T_1s+1)}+\dfrac{T_2}{(T_1-T_2)(T_2s+1)}\)

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‌步骤3：拉普拉斯逆变换‌

对每项进行逆变换：

1. \(\dfrac{1}{s}\) 对应单位阶跃函数 1；
2. \(\dfrac{-T_1}{(T_1-T_2)(T_1s+1)}\) 对应指数衰减项 \(\dfrac{-1}{T_1-T_2}e^{-t/T_1}\)；
3. \(\dfrac{T_2}{(T_1-T_2)(T_2s+1)}\) 对应指数衰减项\(\dfrac{1}{T_1-T_2}e^{-t/T_2}\)。

合成时域响应：

\[y(t)=1−\frac{T_1}{T_1−T_2}e^{−t/T_1}+\frac{T_2}{T_1−T_2}e^{−t/T_2} \]

整理后得到：

\[y(t)=1−\frac{T_1e^{−t/T_1}−T_2e^{−t/T_2}}{T1−T2} \]

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