常用不等式集锦

常用不等式集锦

在数学证明中，不等式常常扮演着重要的角色，我们经常利用一些不等式进行放缩，来求上下界；或者利用不等式和夹逼定理求出一个函数的值等等。为了方便查阅，我在此总结一下常用的不等式。不等式们，快到碗里来吧！

Holder不等式

• 级数形式。设\(p>1,1/p+1/q=1,x_k,y_k \in C\),则有

\[\sum \limits_{k=1}^{+\infty}|x_k y_k| \le [\sum \limits_{k=1}^{+\infty}|x_k|^p]^{1 \over p} [\sum \limits_{k=1}^{+\infty}|y_k|^q]^{1 \over q} \]

• 积分形式。设\(p>1,1/p+1/q=1,x(t) \in L^p(E),y(t) \in L^q(E)\),则\(x(t)y(t) \in L^1(E)\),而且

\[{\int_E {|x(t)y(t)|dt \le \left( {\int_E {{{\left| {x(t)} \right|}^p}dt} } \right)} ^{{1 \over p}}}{\left( {\int_E {{{\left| {y(t)} \right|}^q}dt} } \right)^{{1 \over q}}} \]

Minkowski不等式

• 级数形式。设\(1 \le p \le +\infty\),则对于任意的复数\(x_k,y_k\)有

\[(\sum \limits_{k=1}^{+\infty}|x_k+y_k|^p)^{1 \over p} \le (\sum \limits_{k=1}^{+\infty}|x_k|^p)^{1 \over p} + (\sum \limits_{k=1}^{+\infty}|y_k|^p)^{1 \over p} \]

• 积分形式。设\(p \ge 1,x(t),y(t) \in L^p(E)\),则\(x(t)+y(t) \in L(E)\),而且

\[(\int_E {|x(t)+y(t)|^p dt} )^{1 \over p} \le ( \int_E |x(t)|^pdt ) ^{1 \over p}+(\int_E |y(t)|^pdt)^{1 \over p} \]

Cauchy-Schwarz不等式

设\((X,\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle )\)是一个内积空间，对于任意的\(x,y \in X\)，恒有

\[{\left| {\left\langle {x,y} \right\rangle } \right|^2} \le \left\langle {x,x} \right\rangle \left\langle {y,y} \right\rangle \]

等价地，

\[\left| {\left\langle {x,y} \right\rangle } \right| \le \left\| x \right\|\left\| y \right\| \]

Jensen不等式

对于凸函数，我们有

\[f(Ex)\le Ef(x) \]

Boole不等式（联合界）

在概率论里，可数的事件集合\(A_1,A_2,A_3,\ldots\),至少有一个事件发生的概率小于所有事件概率之和

\[P(\bigcup\limits_i {{A_i}} ) \le \sum\limits_i {P({A_i})} \]

Hoeffding不等式

设\(X_1,\ldots,X_n\)是独立随机变量，而且，\(P({X_i} \in [{a_i},{b_i}]) = 1,1 \le i \le n\)
我们定义\(\bar X = {1 \over n}({X_1} + \cdots + {X_n})\)
那么，

\[P(\bar X - E(\bar X) \ge t) \le {e^{ - 2n{t^2}}} \]

\[P(\bar X - E(\bar X) \ge t) \le \exp ( - {{2{n^2}{t^2}} \over {\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }}) \]

\[P(|\bar X - E(\bar X)| \ge t) \le 2\exp ( - {{2{n^2}{t^2}} \over {\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }}) \]

我们定义\(S_n={X_1} + \cdots + {X_n}\)
那么，

\[P({S_n} - E({S_n}) \ge t) \le \exp ( - {{2{t^2}} \over {\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }}) \]

\[P(|{S_n} - E({S_n})| \ge t) \le 2\exp ( - {{2{t^2}} \over {\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{({b_i} - {a_i})}^2}} }}) \]