做题记录 2025/6/11

题意简述

给定 \(n\)，将 \(2,3,\dots,3n+1\) 划分成 \(n\) 组 \((a_i,b_i,c_i)\)，使得每组中的三个正整数构成钝角三角形的三边长。

\(n\leq 10^5\)。

做法

from 🐍🐍，比官解好。

观察 \(n\) 小的情况：

\[n=1:(2,3,4)\\ n=2:(2,4,5),(3,6,7)\\ n=3:(2,5,6),(3,7,8),(4,9,10) \]

提出猜想：将后 \(2n\) 个数 \(n+2\sim 3n+1\) 相邻两两分组，然后依次找前 \(n\) 个数 \(2~n+1\) 配三角形。
但当 \(n=4\) 时出现 \((5,12,13)\) 不是钝角三角形。

考虑调大后 \(2n\) 个数的分组差，具体地，选取一个 \(x\)，得到 \(x\) 组边长 \((3n+1-x-i,3n+1-i),i=0,1,\dots,x-1\) 然后找前 \(n\) 个数中最大的 \(x\) 个配三角形即：\((n+1-i,3n+1-x-i,3n+1-i),i=0\sim n-1\)。

考虑这样要满足什么条件：

1. 三角形：\((n+1-i)+(3n+1-x-i)>3n+1-i\)
2. 钝角：\((n+1-i)^2+(3n+1-x-i)^2<(3n+1-i)^2\)

第一个条件取 \(i=n-1\) 限制最严，得到 \(x\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)。

对于第二个条件，我们需要一个引理：

• 对于一组钝角三角形三边长 \(a<b<c\)，即 \(a+b>c\wedge a^2+b^2<c^2\)，则 \((a-1)^2+(b-1)^2<(c-1)^2\)（不过有可能 \(a+b=c\)）。

证明将平方展开即可。

这告诉我们第二个条件取 \(i=0\) 最严，即 \(x(6n+2-x)>(n+1-i)^2\)，不难发现 \(x=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 且 \(n\geq 2\) 时必然满足。

那么我们取出这 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 个三角形，记 \(m=n-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=\lceil\frac{n}{2}\rceil\)，则还剩下 \(3m\) 个数：\(2\sim2+m-1,n+2\sim n+1+2m\)。

再有一个引理：

• 对于一组钝角三角形三边长 \(a<b<c\)，\((a,b+1,c+1)\) 也是钝角三角形三边长。

平方差公式易证。

所以可以加强题目要求：将 \(2~3n+1\) 分成 \(n\) 组，每组中一个 \(2\sim n+1\) 中的数、两个 \(n+2\sim 3n+1\) 的数，且每组都是钝角三角形三边长。

这样就可以直接递归到 \(2\sim 3m+1\) 的情况，然后将 \(m+2\sim 3m+1\) 中的数加上 \(n-m\) 即可。

递归边界 \(n=1\)。

code:

#include <bits/stdc++.h>
int main()
{
	int n; scanf("%d", &n);
	int x = 2, y = n + 2;
	for (int m = n / 2; m; n -= m, m = n / 2)
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			printf("%d %d %d\n", x + n - i, y + n * 2 - m - i, y + n * 2 - i);
	printf("%d %d %d\n", x, y, y + 1);
    return 0;
}