题解：qoj#1359 Setting Maps

题意简述

给定 \(n\) 个点，\(m\) 条边的简单有向图，每个点有点权 \(c_i\)，并给出上面的两个点 \(s,t(s\neq t)\) 和一个正整数 \(K\)。

要求构造一个点集 \(S\)，满足从 \(s\) 到 \(t\) 的任意一条路径中，至少有 \(K\) 个点在 \(S\) 中，且 \(S\) 是所有这样的点集中 \(\sum_{u\in S}c_u\) 最小的。

\(n\leq 200,m\leq 500, K\leq 5\)。

解法

考虑 \(K\) 等于 \(1\) 的情况，这是一个最小割点集问题，拆点转为割边后求最小割即可。

对于 \(K\) 更大的情况，考虑类似建图。

现在一条路径要被“割 \(K\) 次”，那么将图复制 \(K\) 层，点 \(x\) 第 \(i\) 层入点记为 \(x_i^+\)，出点记为 \(x_i^-\)。

对于每个 \(x\)，连边 \((x_i^+,x_i^-,c_x),(x_i^+,x_{i+1}^-,+\infin)\)。对于每条原图上的边 \((x,y)\)，连边 \((x_i^-,y_i^+,+\infin)\)。如果某个 \((x_i^+,x_i^-,c_x)\) 在最小割中，则 \(x\) 选入点集 \(S\) 中。这样可以发现，对于任意一条原图上 \(s\) 到 \(t\) 的路径，如果在 \(S\) 中的点少于 \(K\) 个，必然存在一条从 \(s_1^+\) 到 \(t_K^-\) 的路径。

这个建图的问题是，一个点 \(x\) 如果被选入点集，理应同时割去所有 \((x_i^+,x_i^-)\)，只需要 \(c_x\) 的代价，而不是当作 \(K\) 条边选入最小割，也就是需要说明在最小割中每个 \(x\) 只存在一个 \((x_i^+,x_i^-)\) 被割去。

对于固定的点集 \(S\)，设 \(f_x\) 为 \(s\) 到 \(x\) 的所有路径上（不包括 \(x\)）最少有多少个点在 \(S\) 中，\(g_x\) 为 \(x\) 到 \(t\) 的所有路径上（不包括 \(x\)）最少有多少个点在 \(S\) 中。那么对于 \(x\in S\)，要求 \(f_x+g_x+1\geq K\)。也就是说，只需要考虑 \(s\) 到 \(x\) 且上面恰有 \(f_x\) 个点在 \(S\) 中（不包括 \(x\)）的路径（因为对于其他路径，即使当作 \(x\notin S\) 也满足要求），那么对应到上面的最小割中，只需要割去 \((x_{f_x}^+,x_{f_x}^-)\) 这一条边即可。

使用 Dinic 算法求最大流，总复杂度 \(O((nk)^2m)\)，实际上相当快。