割点(Tarjan算法)

本文可转载,转载请注明出处:www.cnblogs.com/collectionne/p/6847240.html 。本文未完,如果不在博客园(cnblogs)发现此文章,请访问以上链接查看最新文章。

 

前言:之前翻译过一篇英文的关于割点的文章(英文原文翻译),但是自己还有一些不明白的地方,这里就再次整理了一下。有兴趣可以点我给的两个链接。

 

割点的概念

 

无向连通图中,如果将其中一个点以及所有连接该点的边去掉,图就不再连通,那么这个点就叫做割点(cut vertex / articulation point)。

 

例如,在下图中,0、3是割点,因为将0和3中任意一个去掉之后,图就不再连通。如果去掉0,则图被分成1、2和3、4两个连通分量;如果去掉3,则图被分成0、1、2和4两个连通分量。

 

 

怎么求割点

 

直接DFS

 

最容易想到的方法就是依次删除每个割点,然后DFS,但这种方法效率太低,这里不做讨论。

 

DFS树

 

首先需要了解一些关于DFS树(DFS tree)的概念。以下图为例:

 

 

从点1开始搜索整个图, 对于每个点相邻的顶点,按照顶点编号从小到大搜索(也可以按其它顺序)。因此上图的搜索顺序如下:

 

第1步,与1相邻的点有{2, 4},选2。

 

第2步,与2相邻的点有{1, 3, 4},1访问过,选3。

 

第3步,与3相邻的点有{2, 5},2访问过,选5。

 

第4步,与5相邻的点有{3},访问过,退出。

 

退回第3步,与3相邻的点有{2, 5},都访问过,退出。

 

退回第2步,与2相邻的点有{1, 3, 4},1、3访问过,选4。

 

第5步,与4相邻的点有{1, 2},都访问过,退出。

 

退回第2步,与2相邻的点有{1, 3, 4},都访问过,退出。

 

退回第1步,与1相邻的点有{2, 4},都访问过,退出。

 

至此,访问结束。

 

把访问顶点的路径表示出来就是这样的(访问已访问过的顶点时加上删除线并不再访问,end表示与某个顶点相邻的顶点遍历完毕,{}里是与一个顶点相邻的所有顶点)。

 

1 {2,4}
  2 {1,3,4}
    1
    3 {2,5}
      2
      5 {3}
        3
        end
      end
    4 {1,2}
      1
      2
      end
    end
  4
  end

 

访问路径可以绘制成下图(绿边为访问未访问顶点时经过的边,红边为访问已访问节点是经过的边):

 

 

我们把上图称为DFS搜索树(DFS tree),上图中的绿边称为树边(tree edge),红边称为回边(back edge)。通过回边可以从一个点返回到之间访问过的顶点

 

你可能会有疑问,“访问已访问节点时所经过的边叫回边”,我们上面不是没有访问吗?其实是有的,但是为方便就不写了,而且遇到已访问的边(在后面的算法里)只是简单计算一下,不再继续DFS了。

 

注意,在上图中,如果与一个顶点相邻A的顶点B是A的父节点,不表示出来,接下来的算法遇到这种情况也不计算

 

Tarjan算法

 

可以使用Tarjan算法求割点(注意,还有一个求连通分量的算法也叫Tarjan算法,与此算法类似)。(Tarjan,全名Robert Tarjan,美国计算机科学家。)

 

首先选定一个根节点,从该根节点开始遍历整个图(使用DFS)。

 

对于根节点,判断是不是割点很简单——计算其子树数量,如果有2棵即以上的子树,就是割点。因为如果去掉这个点,这两棵子树就不能互相到达。

 

对于非根节点,判断是不是割点就有些麻烦了。我们维护两个数组dfn[]和low[],dfn[u]表示顶点u第几个被(首次)访问,low[u]表示顶点u及其子树中的点,通过非父子边(回边),能够回溯到的最早的点(dfn最小)的dfn值(但不能通过连接u与其父节点的边)。对于边(u, v),如果low[v]>=dfn[u],此时u就是割点。

 

但这里也出现一个问题:怎么计算low[u]。

 

假设当前顶点为u,则默认low[u]=dfn[u],即最早只能回溯到自身。

 

有一条边(u, v),如果v未访问过,继续DFS,DFS完之后,low[u]=min(low[u], low[v]);

 

如果v访问过(且u不是v的父亲),就不需要继续DFS了,一定有dfn[v]<dfn[u],low[u]=min(low[u], dfn[v])。

 

代码

 

DFS

 

先回忆一下怎么用DFS遍历一个图,代码如下:

 

bool vis[N];            // 顶点是否访问过
vector<int> g[N];     // 邻接表表示的图

// 调用dfs()前需将整个vis[]设为false
void dfs(int u)
{
    vis[u] = true;
    for (int v: g[u])
    {
        if (!vis[v])
            dfs(v);
    }
}

 

Tarjan算法

 

首先假设u是根节点。如果u有两棵以上的子树,则u为割点。代码:

 

int children = 0;
for (int v: g[u])
{
    if (!vis[v])
    {
        children++;
        dfs(v);   // 继续DFS
    }
}
if (children >= 2)
    // u是割点

 

非根节点呢?按照前面的描述,代码如下:

 

// 默认u不能回溯到任何前面的点
low[u] = dfn[u];
for (int v: g[u])
{
    // (u, v)为树边
    if (!vis[v])
    {
        // 设置v的父亲为u
        parent[v] = u;
        // 继续DFS,遍历u的子树
        dfs(v);
        // u子树遍历完毕,low[v]已求出,low[u]取最小值
        low[u] = min(low[u], low[v]);

        if (low[v] >= dfn[u])
            // u是割点
    }
    // (u, v)为回边,且v不是u的父亲
    else if (v != parent[u])
        low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}

 

综合起来,加上一些其它部分,Tarjan算法的代码如下:

 

const int V = 20;
int dfn[V], low[V], parent[V];
bool vis[V], ap[V];
vector<int> g[V];

void dfs(int u)
{
    static int count = 0;
    // 子树数量
    int children = 0;

    // 默认low[u]等于dfn[u]
    dfn[u] = low[u] = ++count;
    vis[u] = true;

    // 遍历与u相邻的所有顶点
    for (int v: g[u])
    {
        // (u, v)为树边
        if (!vis[v])
        {
            // 递增子树数量
            children++;
            // 设置v的父亲为u
            parent[v] = u;
            // 继续DFS
            dfs(v);
            // DFS完毕,low[v]已求出,如果low[v]<low[u]则更新low[u]
            low[u] = min(low[u], low[v]);

            // 如果是根节点且有两棵以上的子树则是割点
            if (parent[u] == -1 && children >= 2)
                cout << "Articulation point: " << u << endl;
            // 如果不是根节点且low[v]>=dfn[u]则是割点
            else if (parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u])
                cout << "Articulation point: " << u << endl;
        }
        // (u, v)为回边,且v不是u的父亲
        else if (v != parent[u])
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
}

 

不过有一个问题:可能会重复输出一个割点。例如一个图里有(1, 2)、(1, 3)、(1, 4)和(1, 5)四条边(取1为根节点),发现(1, 3)时就已经输出了1,但发现(1, 4)和(1, 5)时就又输出了两遍。所以需要使用一个数组ap[]来记录割点。

 

还有一个可以优化的地方:我们使用vis[]来记录一个点是否访问过。但是我们想一下,不是只有访问过的点才会分配dfn吗?当然,没有访问过的顶点,dfn[]里也有值,但这里dfn[]是全局的,因此它的每个元素最初都是0。因此完全可以取消vis[]数组并把!vis[v]改成!dfn[v]。

 

最后一个点:下面的代码:

 

if (parent[u] == -1 && children >= 2)
    cout << "Articulation point: " << u << endl;
else if (parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u])
    cout << "Articulation point: " << u << endl;

 

可以合起来写成:

 

if (parent[u] == -1 && children >= 2 || parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u])
    cout << "Articulation point: " << u << endl;

 

当然,还需要加上对ap[]的检查。

 

对Tarjan算法的详细理解

 

1. 

 

Todo

 

对算法的详细理解

 

首先,“根节点有n棵子树”这句话,是说这n棵子树是独立的,没有根节点不能互相到达。因此n不一定等于与根节点相邻的顶点数。因此加入了vis[v]为false的条件,因为如果(u, v1)和(u, v2)在一棵子树里,对v1进行DFS,一定能去到v2,vis[v2]就会为true,此时就不会children++了。

 

对于边(u, v),如果low[v]>=dfn[u],即v即其子树能够(通过非父子边)回溯到的最早的点,最早也只能是u,要到u前面就需要u的回边或u的父子边。也就是说这时如果把u去掉,u的回边和父子边都会消失,那么v最早能够回溯到的最早的点,已经到了u后面,无法到达u前面的顶点了,此时u就是割点。

posted @ 2017-06-07 13:04 collectionne 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏