随笔分类 - 数论
数论
摘要：参考博客： https://www.cnblogs.com/zzqsblog/p/9904271.html powerful number： 每个质因子指数$\ge 2$的数。 可以被$a2 b3(\mu(b) \not= 0)$唯一表示。 也可以被$ab^2(a|b)$唯一表示。 题外（power
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摘要：https://gmoj.net/senior/#main/show/5031 题解： 只是做这题当然是不用DGF的，可以直接上组合数。 定义$f$函数的导为$f(n)'=f(n)\times \omega(n)$ 其中$\omega(n)$为$n$分解质因数后指数和。 那么就可以得出$ln(F)$
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摘要：https://gmoj.net/senior/#main/show/4367 题解： 退役前来了结这个OI入（弃）坑题吧。 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} (~mod~p^k)\) 类似于扩展Lucas，把$p$的倍数和不是$p$的倍数分开。 \(= \frac{1}{p}
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摘要：经典类欧： \(F(n,a,b,c)=\sum_{x=0}^n \lfloor \frac{ax+b}{c} \rfloor\) 当$a\ge corb\ge c$时，\(F(n,a,b,c)=F(n,a\%c,b\%c,c)+\lfloor \frac{b}{c} \rfloor*(n+1)+\l
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摘要：https://loj.ac/problem/2023 题解： 考虑生成函数做： \(\sum_{y>0} (1+x)^a*(1+x^{-1})^b [x^y]\) \(=\sum_{y>b} (1+x)^{a+b} [x^y]\) 注意到$a-b$非常小，也就是说$b$靠近$(a+b)/2$ 由组
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摘要：https://loj.ac/problem/3219 题解： \(F[n+m]=F[n]*F[m]+F[n-1]*F[m-1]\) \(F[n]*F[m]=F[n+m]-(F[n-1]*F[m-1])\) \(...\) \(F[n]*F[m]=F[n+m]-F[n+m-2]+F[n+m-4]…+
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摘要：Description: https://gmoj.net/senior/#main/show/6676 题解： 考虑用第二类斯特林数把$i^k$搞掉： \(Ans=2^n*f(0)（这一项提出来好，后面不写了）+\sum_{k=1}^m f(k)*\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}*
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摘要：Description： 小火车励志成为一名辣鸡出题人，但是要成为一名辣鸡出题人，代码必须跑得比谁都快，这样就能把他们都卡常数了！为了锻炼自己，他找到了一位长者——罗长者，罗长者说：“你啊，toosimple！不要想弄一个大新闻，说现在已经‘钦定’了，然后把我批评一番。”小火车坐在高高的骨灰旁边，听
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摘要：https://www.luogu.com.cn/problem/P3747 已经记不请上一次遇到扩展欧拉定理是什么时候了。 $a^b~mod~p=$ $bp0$后，都和$cnt=p0+1$时的值一样 注意是和$cnt=p0+1$时的值一样，为了方便，多开一位： 用线段树维护区间$cnt$最小值，如
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摘要：https://loj.ac/problem/509 题目相当于求： $\sum_{a=1}^n\sum_{n=1}^m [ab是完全平方数]$ 如何统计，考虑枚举$a,b$的共有的指数为奇数的质因子的乘积$d$ $\sum_{d=1}^n \mu^2(d) \sqrt{n/d} \sqrt{m/d
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摘要：有一个序列$a[1..n]$，求最短的$f[1..len]$，使得： $\forall i len,\sum_{j=1}^{len} f[j] a[i j]=a[i]$ 假设已经求出了$a[1..i 1]$的最短递推式$f$ 设$∆=a[i] \sum_{j=1}^{len} f[j] a[i j]
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摘要：https://loj.ac/problem/2981 这真TM是个防AK题。 考虑先套上burnside，枚举置换$i$，发现问题变成$gcd(i,n)$长的环，染m种颜色，连续m个不会出现m个颜色的方案数，记$f(d)$表示长为d的环的方案数，则$Ans=\sum_{d|n}f(d) \
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摘要：https://loj.ac/problem/2978 先考虑最暴力的做法，一个数x，含有的质因子p的指数如果是奇数，那么在这一位视作1，答案相当于与选若干数，异或起来是0。 如果暴力建线性基，求出自由元的个数$s$，答案就是$2^s$。 这个大概能跑过$r\sqrt n$的质因子，如果它出现，那么
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摘要：「十二省联考 2019」骗分过样例（提答+数论+乱搞）： https://loj.ac/problem/3050 两个小时大概能玩个70+分，应该达到了平均水平。 1_998244353 没什么好说的，快速幂，对于test 3，可以直接高精度二进制分解，也可以用欧拉定理优化。 1? 发现得到
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摘要：题目大意： $n\le100,m\le10^{10}$，树是随机的。 题解： 考虑设$f(x)$表示乘积为$x$的权值和。 不难发现$f(x)$是一个积性函数，且$f(p)=p n$。 如果能够快速求出$f(p^k)$，那么就可以min_25筛了。 设$cnt[x][y]$表示： 在树上分配指数$a
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摘要：$nl。 记$s=\sum l$，如果最后的和是$v$，那么系数就是挡板问题：$C_{v s 1}^{n 1}$。 范德蒙恒等式：$C_{n+m}^k=\sum_{i=0}^kC_{n}^i C_{m}^{k i}$ 当n、m、k是非负数的时候显然成立，其实n，m是负数时也成立，可以用生成函数解释。
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摘要：https://gmoj.net/senior/ contest/show/2989/1 先考虑n=2时怎么做，打表找规律找了半天找不出来。 赛后才知道这是nim积。 定义$x⊗y$为$sg(x,y)$。 有一坨性质： $x,yy)$，设$k$为最大的$k$满足$2^{2^k} define fo(
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摘要：Description： 小 D 的家门口有一片果树林，果树上果实成熟了，小 D 想要摘下它们。 为了便于描述问题，我们假设小 D 的家在二维平面上的 (0, 0) 点，所有坐标范围的绝对值不超过 N 的整点坐标上都种着一棵果树。（(0, 0) 这个点没有果树） 小 D 先站在 (0, 0) 处，正
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摘要："传送门." 题解 感觉这题最难的是第一个结论。 数值上不等，所以x/y首先要互质，然后如果在10进制是纯循环小数，不难想到y不是2、5的倍数就好了。 因为十进制下除以2和5是除得尽的。 必然会多出来的什么东西。 如果是k进制，可以类比得$gcd(y,k)=1$。 证明： 假设纯循环的位数是$l$
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摘要：我居然没看题解瞎搞出来了？ 题解： 不难想到找到每次减1的位置，然后减去它对最终答案的贡献。 假设有一个地方是$x,1(mod~k)$ 那么减了1后就变成了$x,0$。 然后可以推到$x,0,x,x$。 可以看做以$x,x$为开头，做新的序列。 设y为x在mod k意义下的逆元，那么下次1的地方就是
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