算法随笔——manacher

非常好学习资料

manacher

求最长回文子串

暴力

枚举回文中心 \([1,n]\)，暴力向两边拓展，然后 \(checkmax\)。时间复杂度 \(O(n^2)\)
可以用二分哈希优化至 \(O(n \log n)\)

算法思路

当求解第 \(i\) 个字符为回文中心的时候，已经知道了 \([1,i-1]\) 之间的信息。
于是引入
\(p[i]\) ：以 i 为中心的最长回文半径（即回文串的一半）
\(r\) ：回文串右端点最远可以到达的位置，则该设回文串为 \([l,r]\)
\(m\) ：\([l,r]\) 回文串的中心，\(m = (l + r)/2\)，始终满足 \(m < i\)
\(k\) ：i 关于 m 的对称点，$k = 2 * m -i $

因此 \(p[i] = min(r-i+1,p[2*m-i])\)

小tips

因为回文串有奇有偶，因此为了避免讨论，在每个字符之前和首尾插入一个 '#'，可以保证每个回文串长度均是奇数，答案即为 \(max{p[i]} - 1\)。

char old[N],str[N];

int p[N],r,m;

int main()
{
	scanf("%s",old+1);
	int len = 0;
	//插入字符 初始化
	str[++len] = '#';
	for (int i = 1,l = strlen(old+1);i <= l;i++)
		str[++len] = old[i],str[++len] = '#';
	for (int i = 1;i <= len;i++)
	{
		if (i > r) p[i] = 1;
		else p[i] = min(p[2*m-i],r-i+1);
		while (i+p[i] <= len && i - p[i] >= 1 && 
		str[i+p[i]] == str[i-p[i]]) p[i]++; //暴力拓展
		//更新中心和最远右端点
		if (i + p[i] - 1 > r) r = i + p[i] - 1,m = i;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1;i <= len;i++ ) ans = max(p[i],ans);
	cout << ans - 1 << endl;
	//答案等于(整条回文串-1)/2
	//即（p[i]*2-1 -1)/2 = p[i]-1
	return 0;
}