算法随笔——数论之莫比乌斯反演

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前置知识：

数论分块

可以求形如：\(\sum f(i)g(\left \lfloor n/i \right \rfloor )\) 的东西。
原理如下：
比如说求 $\sum_{i=1}^{10}\left \lfloor 10/i \right \rfloor $
得到：10 5 3 2 2 1 1 1 1 1
可以发现有一些块的数值是一样的。
具体一点可以发现 \([l, \left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor } \right \rfloor ]\) 里的数值都是一样的。
又因为这样的值只有 \(\sqrt n\) 个，因此这个式子可以在 \(O(\sqrt n)\) 的复杂度算出来.

int sum(int n)
{
	int res = 0;
	for (int i = 1,r;i <= n;i = r + 1)
	{
		r = n/(n/i);
		res += ...//计算贡献
	}
	return res;
}

下面是规范、标准的数学表述形式（莫比乌斯反演公式），修正了排版与符号不一致的问题：

---

设 ( f(n), g(n) ) 为两个数论函数，则有
\([ f(n)=\sum_{d\mid n} g(d) \quad \Longleftrightarrow \quad g(n)=\sum_{d\mid n} \mu!\left(\frac{n}{d}\right) f(d), ]\)
其中 ( \mu(n) ) 为 莫比乌斯函数。

---

也可以写成完全对称的等价形式（常用于代码或推导）：
\([ f(n)=\sum_{d\mid n} g(d) \iff g(n)=\sum_{d\mid n} \mu(d), f!\left(\frac{n}{d}\right). ]\)

这两种写法完全等价，只是换元不同。

狄利克雷卷积

一些数论函数:
\(\epsilon (n)\) : \([n=1]\)
\(I(n)\)：任何情况下，\(I(n) = 1\)。
\(id(n)\): \(id(n) = n\)
\(\varphi(n)\) : 欧拉函数， \([1,n]\) 之内与 \(n\) 互质的整数的个数.单点求解欧拉函数

点击查看代码

int get_euler(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if (!vis[i]) 
        {
            prime[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1; 
        }
        for (int j = 0;prime[j]<= n/i;j++)
        {
            vis[prime[j] * i] = 1;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j]-1);
        }
    }
    return res;
}

莫比乌斯函数 \(\mu\) ：

筛法：

点击查看代码

void euler(int n)
{
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= n;i++)
	{
		if (!vis[i]) primes[cnt++] = i,mu[i] = -1;
	 	for (int j = 0;primes[j] <= n / i;j++)
	 	{
	 		int num = i * primes[j];
	 		vis[num] = 1;
	 		if (i % primes[j] == 0)
	 		{
	 			mu[num] = 0;
	 			break;
	 		}
	 		mu[num] = -mu[i];
	 	}		
	}
}

\(\sigma(n)\) 约数和函数:\(\sigma(n) = \sum _{d|n} d\)。

狄利克雷卷积

\[{\large (f*g)(n) = \sum_{d|n}^{} f(d) \times g(\frac{n}{d})} \]

则有：

\[{\large \mu * I = \epsilon} \]

\[{\large \varphi * I = id} \]

\[{\large \mu * id = \varphi} \]

\[{\large f * \epsilon = f} \]

\[{\large I * id = \sigma} \]

\(\epsilon\) 是单位函数，\(\mu\) 和 \(I\) 互为逆元。
同时可以发现狄利克雷卷积满足交换律、分配律和结合律。

例题1

${\large \mu * I = \epsilon} $

例题2

${\large \varphi * I = id} $

例题3

${\large \mu * I = \epsilon} $