双数和（Two Sum）

给定一个整数数列，找出两个数，使其和等于给定值K，并返回其下标。如果无法找到两个数，返回(-1,-1)。

经典面试问题。主要考察设计算法是对时间和空间复杂度的把握。

首先一些基本思考：

1. 问题的边界条件是什么？数据有何特点？数据量有多大？
2. 最简单的暴力解法是什么？进一步优化的途径何在？

首先该数组可能存在重复元素，如（3，1，1，4，2）。如果K值设定为3，则可能返回的结果为（1，4）或者（2，4）。注意我们要返回的是下标。由于原题没有指明返回符合条件的多个可能解的限制条件，顾返回任何一对下标都是接受的。数据元素为整数。题目没有说明数组的长度，故先可假定数组可放入内存，而先无须顾虑用序列化，分布式或并行解法。

最简单的暴力解法是穷举所有不同元素对，当发现其和等于K时，返回该元素对的下标。如果没找到满足条件的元素对，则返回（-1，-1）。Python代码如下：

def find_two_sum(values, K):
    if len(values) >= 2:
        for i in range(len(values)-1):
            for j in range(i+1, len(values)):
                if values[i] + values[j] == K:
                     return (i,j)   
    return (-1,-1)

显然，上述算法简明，不占额外空间，在数据量小时是不错的解决方案。当数据量大时，因为需要扫描数组两遍，故效率不高。该算法的空间复杂度为常数，时间复杂度为二次。

 如果要改善时间复杂度，则需要防止扫描数组两遍。这是想象当我们在扫描数组是遇到一个新元素A，我们需要找到一个以前访问过的元素B，使得这两个元素的和为给定值。由于我们不可能再次访问原数组去获得B，因此我们需要用一种机制迅速提取出B。由于B的值应该为K-A，故可以设立一个哈希集合存储所有访问过的元素。显然，查询B的时间是常数级别的。代码如下：

def find_two_sum(values, K):
    if len(values) >= 2:
        visited = {}
        for i in range(len(values)):
            if values[i] not in visited:
                if K - values[i] in visited:
                    return (visited[K-values[i]], i)
                visited[values[i]] = i
    return (-1, -1)

 上述算法的代价是需要O(N)的空间存放哈希集合。另外，哈希集合的实现也会影响算法实际运行的效率。

最后的一个特殊例子。如果数组已经被排序，则无须额外空间，可以线性时间复杂度找到解。代码如下：

def find_two_sum(sorted_values, K):
    if len(sorted_values) >= 2:
        start, end = 0, len(sorted_values)-1
        while start < end:
            if sorted_values[start] + sorted_values[end] == K:
                return (start, end)
            elif sorted_values[start] + sorted_values[end] < K:
                start += 1
            else:
                end -= 1
    return (-1, -1)

在本题中，如果数组无序，则可产生一个数组初始化为(0,1,...,N-1)，对应原来输入数组的下标。然后对此数组排序使得其开始元素对应原始数组最小元素的下标。然后，再应用上述算法。但此时时间复杂度为O(NlgN)，空间复杂度为O(N)，相对基于哈希集合的算法并无优势。