Codeforces Round 772 (Div. 2) E.Cars 二分图染色/拓扑排序

Cars 二分图染色/拓扑排序

 

题意

坐标轴 $X$ 上有 $n$ 辆汽车。每辆车最初位于一个整数点，并且没有两辆车位于同一点。此外，每辆车都可以向左或向右定向地、可以随时以任何恒定的正速度地沿该方向移动。定义两种关系：

• 如果两辆汽车无论速度如何都永远不会到达同一点，我们称它们为 无关紧要的。换句话说，它们在任何时候都不会处于相同的坐标。

• 如果两辆汽车无论速度如何，它们一定会到达同一点，我们就称它们为命中注定的。换句话说，它们一定会在某个时刻处于相同的坐标。

我们知道$n$量汽车之间的$m$个关系。有两种类型的关系：

• 1 i j— 第 i 辆车和第 j 辆车是 无关紧要的。

• 2 i j— 第 i 辆车和第 j 辆车是 命中注定的。

要求求出满足关系的汽车的方向和位置，或着回答满足关系的车不可能存在的。如果有多个解决方案，则输出任何一个。

 

题解

　　题中的两种关系都是与速度无关的，即要么相向而行，要么背道而驰，通过观察，我们可以发现这两种关系都满足方向相反。考虑矛盾的情况。建图，$m$对点之间用无向边相连，代表有关系（两种关系其中一种），根据上面知道，有关系的两辆车行驶方向相反，通过染色法来表示就是相邻两点颜色应该不同，因此可以通过染色法排除矛盾的情况。

　　然后考虑车辆的位置关系。重新建图，建图规则是$i \to j$，当且仅当$x_i < x_j$，即顶点$i$在坐标轴上的位置小于$j$对应的位置。这个过程需要自己判断，先规定$col[i] = 0$为$i$车向左行驶，每一对关系点$(u, v)$，行驶方向必然不同，我们先将$u$点确定为向左行驶，即如果$col[u] = 1$, 就交换$u$,$v$的值，然后就可以根据相离或相向的关系建边了。如果相离，那么方向为$L$的点的坐标小于方向为$R$的；反之相向的话，方向为$R$的指向方向为$L$的。这个建成的图应该是一个$DAG$图（有向无环图），如果出现了环，则有矛盾，无解。其中的拓扑序就可以代表每个点在数轴上的位置。

 

int n, m;
int cnt = 0;
int flag = 0;
int in[maxn];
int col[maxn];
vector<int> G[maxn];
int vis[maxn], ans[maxn];
int re[maxn], t1[maxn], t2[maxn];

void dfs(int x, int t) {
    col[x] = t;
    vis[x] = 1;
    for (auto i : G[x]) {
        if (vis[i] && col[i] == t) {
            flag = 1;
            return ;
        }
        if (flag || vis[i]) continue;
        dfs(i, t ^ 1);
    }
}

bool topsort() {
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) if (in[i] == 0) q.push(i);
    while (!q.empty()) {
        int x = q.front();
        q.pop();
        ans[x] = ++ cnt;
        for (auto i : G[x]) {
            if (-- in[i] == 0) {
                q.push(i);
            }
        }
    }
    return (cnt == n);
}


void solve() {

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        int t, u, v;
        cin >> t >> u >> v;
        re[i] = t, t1[i] = u, t2[i] = v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) if (!vis[i]) dfs(i, 1);
    if (flag) {
        cout << "NO\n";
        return ;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) G[i].clear();

    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        int type = re[i], u = t1[i], v = t2[i];
        if (col[u] == 1) swap(u, v); // 规定u指向特定方向L
        if (type == 1) G[u].push_back(v), in[v] ++;
        else G[v].push_back(u), in[u] ++;
    }
    if (topsort()) {
        cout << "YES\n";
        for (int i = 1; i <= n; i ++) cout << ((col[i] == 0) ? 'L' : 'R') << " " << ans[i] << endl;
    } else cout << "NO\n";
}