LeetCode.509——斐波那契数


  • 问题描述:

    斐波那契数,通常用 F(n) 表示,形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:

    F(0) = 0,   F(1) = 1
    F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
    

    给定 N,计算 F(N)。

    示例 :

    输入:2
    输出:1
    解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.
    
  • 问题分析:

    由于计算任何一个第n(n >= 2)项的数都需要知道其前面两个数,即需要知道n-1和n-2是多少,然后两个相加得到结果,但是问题来了,要知道n-1,就要需要知道n-2,要知道n-2就需要知道n-3,会一直这样的循环递归下去,一直到第一个数,第二个,第三个.......再反推回来。 那就很明显了,大家第一时间想到的方法便是递归,就下来实现一下:

    方法一:递归实现

    public class Solution {
    	 public int fib(int n) {
         	if(n <= 1){
                return n;
            }
             return fib(n-1) + fib(n-2);
         }
    }
    

​ 问题分析:

​ 先看一下递归图:

​ 由于很多数的计算都要重复很多次,效率并不高,时间复杂度达到了 O(2^n),是斐波那契数计算中 时间复杂度最大,最不可取的方法。

​ 空间复杂度:O(n),堆栈中需要的空间与 N 成正比,堆栈会跟踪 fib(n) 的调用,随着堆栈的不断增长 如果没有足够的内存则会出现StackOverflowError异常。

​ 注:定义为int型时,最大只能求到n = 46,f(46) = 1836311903, 而 f(47) = -1323752223,因为超出了int 型数值的最大范围。

  • 算法改进:

    使用递归的同时,使用记忆化方式存储已经计算过的数据,减少不必要的重复计算,可以使时间复杂度降到 O(N),同时空间复杂度也是O(N)。具体的实现是使用一个数组,把每次计算过的值都存储进去,当再次使用这个数的时候,直接返回,不需要再进行递归。

    方法二:记忆化自底向上递归

    public class Solution {
    	 public int fib(int n) {
         	if(n <= 1){
                return n;
            }
             int[] memo = new int[n+1];
             memo[1] = 1;
             for(int i = 2;i <= n; i++){
                 //自底向上填充数组,一直到需要的那个数
                 memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2];
             }
             return memo[n];
         }
    }
    

方法三:使用第三方变量

class Solution {
    public int fib(int N) {
        if (N < 2) return N; 
        if (N == 2) return 1;
    
        int temp = 1;
        int result = 1;
        for (int i = 3; i <= N ; i++) {
            result= temp + result;
            temp = result - temp;
        }
        return result;
    }
}

时间复杂度瞬间降到O(1),这个我觉得应该是三个方法里面最简单最高效的。


  • 最后:

    限于水平有限,斐波那契数的实现还有很多种方法,不能一一列举,当其中大部分都有类似的思想。

    水文中如有不准确或是错误之处,还望指出。谢谢~~~

    下一篇:LeetCode.62——不同路径

posted @ 2020-02-14 20:44  沐雨橙风~~  阅读(...)  评论(...编辑  收藏