动态规划求解子序列问题 和 编辑距离

动态规划求解子序列问题

思路

这类题基本就三步：

1. 确定动态数组含义
2. 写出转移方程
3. 给出basecase（基础解）

LeetCode 1143

1. 确定动态数组含义：dp[i] [j]为text1前i个字符 和 text2前j个字符的 lcs（最长公共子序列） 长度
2. 转移方程：
   • 当text1(i)==text2(j)时，dp[i] [j]=dp[i-1] [j-1] +1
   • 当text1(i)!=text2(j)时，有三种情况：
     • text1[0...i-1] 和 text2[0...j-1] 的lcs长度等于text1[0...i-2] 和 text2[0...j-1]的lcs长度
     • text1[0...i-1] 和 text2[0...j-1] 的lcs长度等于text1[0...i-1] 和 text2[0...j-2]的lcs长度
     • text1[0...i-1] 和 text2[0...j-1] 的lcs长度等于text1[0...i-2] 和 text2[0...j-2]的lcs长度（这种情况下的lcs长度一定不大于前两种，可以直接忽略）
     • 取三种情况的最大值即可
3. 确定basecase
   • 当其中一个字符串为零时，lcs长度=0

题解：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m=text1.length(),n=text2.length();
        if(m==0|| n==0) return 0;
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];
        // 定义：text1[0..i-1] 和 text2[0..j-1] 的 lcs 长度为 dp[i][j]
        // base case: dp[0][..] = dp[..][0] = 0
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if(text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else {
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

LeetCode 583

1. 确定动态数组含义：dp[i] [j]为使得word1前i个字符 和 word2前j个字符相同所需的最小步数
2. 转移方程：
   • 当word1(i)==word2(j)时，dp[i] [j]=dp[i-1] [j-1]
   • 当word1(i)!=word2(j)时，有三种情况：
     • word1[0...i-1] 和 word2[0...j-1] 相同所需的最小步数等于word1[0...i-2] 和 text2[0...j-1]相同所需的最小步数+1（即删除了word1[i-1]）
     • word1[0...i-1] 和 word2[0...j-1] 相同所需的最小步数等于word1[0...i-1] 和 text2[0...j-2]相同所需的最小步数+1（即删除了word2[j-1]）
     • word1[0...i-1] 和 word2[0...j-1] 相同所需的最小步数等于word1[0...i-2] 和 text2[0...j-2]相同所需的最小步数+1（即删除了word1[i-1]和word2[j-1]）
     • 取三种情况的最小值即可
3. 确定basecase
   • 当其中一个字符串为零时，相同所需的最小步数为另一个字符串的长度

题解：

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m=word1.length(),n=word2.length();
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 1; j <=n ; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        for (int i = 1; i <=m ; i++) {
            for (int j = 1; j <=n ; j++) {
                if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                else {
                    dp[i][j]=Math.min(Math.min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1), dp[i-1][j-1]+2);
                }
            }
        }

        return dp[m][n];
    }

}

另一种思路，用上一题（1143）的结论，因为要使步数最小，也就是删除两个字符串除了最长公共子序列之外的所有元素即可。代码如下：

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m=word1.length(),n=word2.length();
        int lcs = longestCommonSubsequence(word1,word2,m,n);
        return m+n-2*lcs;
    }

    public int longestCommonSubsequence(String word1, String word2,int m,int n) {
        
        if(m==0|| n==0) return 0;
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];
        // 定义：s1[0..i-1] 和 s2[0..j-1] 的 lcs 长度为 dp[i][j]
        // base case: dp[0][..] = dp[..][0] = 0
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else {
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

LeetCode712

这题与上一题相似，直接给代码

class Solution {
    public int minimumDeleteSum(String s1, String s2) {
        int m=s1.length(),n=s2.length();
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0]+s1.charAt(i-1);
        }
        for (int j = 1; j <=n ; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + s2.charAt(j-1);
        }
        for (int i = 1; i <=m ; i++) {
            for (int j = 1; j <=n ; j++) {
                if(s1.charAt(i-1)==s2.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                else {
                    dp[i][j]=Math.min(Math.min(dp[i-1][j]+s1.charAt(i-1),dp[i][j-1]+s2.charAt(j-1)), dp[i-1][j-1]+s1.charAt(i-1)+s2.charAt(j-1));
                }
            }
        }

        return dp[m][n];
    }

}

动态规划 编辑距离 LeetCode72

1. 确定动态数组含义：dp[i] [j]为word1前i个字符 和 word2前j个字符的编辑距离
2. 转移方程：
   • 当word1(i)==word2(j)时，dp[i] [j]=dp[i-1] [j-1]
   • 当word1(i)!=word2(j)时，有三种情况：
     • word1[0...i-1] 和 word2[0...j-1] 相同所需的最小步数等于word1[0...i-2] 和 text2[0...j-1]相同所需的最小步数+1（即删除了word1[i-1]）
     • word1[0...i-1] 和 word2[0...j-1] 相同所需的最小步数等于word1[0...i-1] 和 text2[0...j-2]相同所需的最小步数+1（即删除了word2[j-1]）
     • word1[0...i-1] 和 word2[0...j-1] 相同所需的最小步数等于word1[0...i-2] 和 text2[0...j-2]相同所需的最小步数+1（即替换了word1[i-1]和word2[j-1]中的一个）
     • 取三种情况的最小值即可
     • 删除一个字符等价于为另一个字符串插入一个字符，顾都讨论删除
3. 确定basecase
   • 当其中一个字符串为零时，相同所需的最小步数为另一个字符串的长度

题解

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m=word1.length(),n=word2.length();
        int[][] dp =new int[m+1][n+1];
        //s1[0..i-1] 和 s2[0..j-1] 的编辑距离表示为dp[i][j]
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[0][i]= i;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)) dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                else dp[i][j]=Math.min(Math.min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]), dp[i][j-1])+1;
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}