傅里叶变换

序号	名称	时间函数 \(f(t)\)	频谱函数 \(F(\omega)\)
1	矩形脉冲 (门函数)	\(Ag_{\tau}(t) = \begin{cases} A & |t| \leq \frac{\tau}{2} \\ 0 & |t| > \frac{\tau}{2} \end{cases}\)	\(ArSa\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)\)
2	抽样函数	\(\frac{ArSa}{(2)} \quad 2^n \quad \frac{1}{2}, 2^n\)	\(2\pi Ag_{tau}(\omega) = \begin{cases} 2\pi A & |\omega|<\frac{\tau}{2} \\ 0 & |\omega| > \frac{\tau}{2} \end{cases}\)
3	三角函数	\(A\Delta_{2\tau}(t) = \begin{cases} A(1-\frac{|t|}{\tau}) & t < \tau \\ 0 & t > \tau \end{cases}\)	\(\text{ArSa}^2\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)\)
4	单边指数函数	\(Ae^{-at}u(t) \quad (a > 0)\)	\(\frac{A}{a + j\omega}\)
5	单位冲激信号	\(\delta(t)\)	1
6	单位阶跃信号	\(u(t)\)	\(\pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}\)
7	正负号信号	\(sgn(t) = \begin{cases} 1 & t > 0 \\ -1 & t < 0 \end{cases}\)	\(\frac{2}{j\omega}\)
8	直流信号	\(A\)	\(2\pi A\delta(\omega)\)
9	无时限余弦信号	\(\cos(\omega_0 t)\)	\(\pi[\delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega - \omega_0)]\)
10	无时限正弦信号	\(\sin(\omega_0 t)\)	\(j\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]\)
11	周期信号	\(f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} F_n e^{-j\omega_n t}\)	\(2\pi\sum_{n=1}^{\infty} F_n \delta(\omega - n\omega_n)\)
12	单位冲激序列	\(\delta_1(t) = \sum \delta(t - nT)\)	\(\omega_0 \delta_{\omega_0}(\omega) = \omega_0 \sum_{n=1}^{\infty} \delta(\omega - n\omega_n)\)