Luogu P4932 浏览器(二进制)

P4932 浏览器

题意

题目背景

__stdcall在用$Edge$玩$slay$的时候，鼠标会经常失灵，这让她十分痛苦，因此她决定也要让你们感受一下$Edge$制造的痛苦。

题目描述

__stdcall给了你$n$个点，第$i$个点有权值$x[i]$，对于两个点$u$和$v$，如果$x[u]\ xor\ x[v]$的结果在二进制表示下有奇数个$1$，那么在$u$和$v$之间连接一个$Edge$，现在__stdcall想让你求出一共有多少个$Edge$。

如果你没能成功完成任务，那么__stdcall会让你痛苦一下，你这个测试点就没分了。

输入输出格式

输入格式：

一行六个整数，$n,a,b,c,d,x[0]$。

$n$是点的个数，每个点的权值需要用如下的方式生成。

你需要使用$a,b,c,d$和$x[0]$生成一个数组$x$，生成方式是这样的。

$$x_i=(ax_{i-1}^2+bx_{i-1}+c)\mod d$$

$x[i]$就是第$i$个点的权值，点的标号是$1$到$n$。

输出格式：

输出一个整数，表示一共有多少个$Edge$。

输入输出样例

输入样例#1：

8 98 24 20 100 44

输出样例#1：

12

输入样例#2：

1000 952537 601907 686180 1000000 673601

输出样例#2：

249711

说明

我们用$v$表示权值中的最大值。

对于前$20\%$的数据，$n\leq 10$。

对于前$40\%$的数据，$n\leq 100$。

对于前$60\%$的数据，$n\leq 1000$。

对于前$80\%$的数据，$n\leq 1e6$。

对于前$90\%$的数据，$v\leq 1e6$。

对于$100\%$的数据，$n\leq 1e7,v\leq1e9$。

保证$a,b,c,d,x[0]$都是$int$内的非负整数。

思路

O(n^2)做法：

我们直接把$x$数组搞出来，然后暴力两两匹配看两者的异或值的二进制表示是否只有一个$1$，逐个统计答案。

O(n)做法：

这题的做法是真的好玩。其实就是一个结论：两个数字的异或值在二进制表示下为奇数，当且仅当两个数字的二进制表示中$1$的个数一个为奇数，一个为偶数。

比如说两个偶数$a,b$，它们的二进制表示下有$x$位同为$1$，有$y$位$a$是$1$而$b$是零，有$z$位$a$是$0$而$b$是$1$，那么$(x+y)\mod 2=0$，且$(x+z)\mod 2=0$，所以有$(x+y+x+z)\mod 2=0$，也就是$(y+z)\mod 2=0$。其他情况证明相同。

所以只需要统计出所有数中二进制表示中$1$的个数为奇数的数的个数与为偶数的数的个数，相乘得到答案。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,a,b,c,d,ans[2],x;
LL read()
{
    LL re=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
int main()
{
    n=read(),a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),x=read();
    a%=d,b%=d,c%=d,x%=d;
    for(LL i=1;i<=n;i++) x=(a*x%d*x%d+b*x%d+c)%d,ans[__builtin_popcount(x)&1]++;
    printf("%lld",ans[0]*ans[1]);
    return 0;
}