Luogu P3558 [POI2013]BAJ-Bytecomputer(线性dp)

P3558 [POI2013]BAJ-Bytecomputer

题意

给一个只包含$-1,0,1$的数列，每次操作可以让a[i]+=a[i-1]，求最少操作次数使得序列单调不降。若无解则输出BRAK。

思路

毒瘤出题人alecli！你又找紫题。 --Mercury

• 结论：最优解中变换之后的数列中的数字只有$-1,0,1$。
  • 首先考虑为什么不会出现$2$。$2$的由来只能是$1+1=2$，而将当前位置上的$1$与前一位上的$1$相加既不会改变当前位相对于前一位已经单调不降的事实，同时会提高后面数字的大小要求，所以不使这一位上的$1$与前一位上的$1$相加显然更优。
  • $-2$同理。
  • 对于$x\geq 3$，既然$2$都不会出现，那么$x$更不可能出现。
  • 对于$x\leq -3$，同理。

所以我们可以这样设计状态：设计$f[i][3]$表示前$i$位单调不下降的情况下尾数为某个数所需要的最少操作数，其中，$f[i][0]$表示前$i$位单调不下降的情况下尾数为$-1$所需要的最少操作数，$f[i][1]$表示尾数为$0$，$f[i][2]$表示尾数为$1$。

那么从$f[i-1]$转移到$f[i]$时就可以这么写：

f[1][a[1]+1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
    if(a[i]==-1)//当前位上为-1
    {
        f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]);//上一位是-1，可以不用操作
        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+2);//上一位是1，操作两次把-1变成1
    }
    else if(a[i]==0)//当前位上为0
    {
        f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+1);//上一位是-1，操作两次把0变成-1
        f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]);//上一位是-1，可以不用操作
        f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][1]);//上一位是0，可以不用操作
        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+1);//上一位是1，操作一次把0变成1
    }
    else if(a[i]==1)//当前位上为1
    {
        f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+2);//上一位是-1，操作两次把1变成-1
        f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]+1);//上一位是-1，操作一次把1变成0
        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][0]);//上一位是-1，可以不用操作
        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][1]);//上一位是-1，可以不用操作
        f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]);//上一位是-1，可以不用操作
    }

这样转移下去，就能得到答案了。答案在$f[n][0],f[n][1],f[n][2]$中选取最小值。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,a[1000005],f[1000005][3];
int read()
{
    int f=1,re=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return f*re;
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[1][a[1]+1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(a[i]==-1)
        {
            f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]);
            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+2);
        }
        else if(a[i]==0)
        {
            f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+1);
            f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]);
            f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][1]);
            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]+1);
        }
        else if(a[i]==1)
        {
            f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][0]+2);
            f[i][1]=min(f[i][1],f[i-1][0]+1);
            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][0]);
            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][1]);
            f[i][2]=min(f[i][2],f[i-1][2]);
        }
    ans=min(f[n][0],min(f[n][1],f[n][2]));
    if(ans!=0x3f3f3f3f) printf("%d",ans);
    else printf("BRAK");
    ///CHECK:
    ///for(int i=1;i<=n;i++) printf("\n%d %d %d",f[i][0],f[i][1],f[i][2]);
    return 0;
}