80.Acwing基础课第894题-简单-拆分-Nim游戏

80.Acwing基础课第894题-简单-拆分-Nim游戏

题目描述

\(给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以取走其中的一堆石子，然后放入两堆**规模更小**的石子（新堆规模可以为 0，且两个新堆的石子总数可以大于取走的那堆石子数），最后无法进行操作的人视为失败\)。

\(问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜\)。

输入格式

\(第一行包含整数 n\)。

\(第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 a_i\)。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

\(1≤a_i,n≤10^5\)

输入样例：

2
2 3

输出样例：

Yes

代码：

// 包含字符串操作、输入输出、算法、无序集合头文件（存储可达SG值）
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>

using namespace std;

// 常量定义：N=110，适配石子堆的最大规模（SG函数计算上限）
const int N = 110;

int n;          // n：石子堆的数量
int f[N];       // f[x]（SG(x)）：记忆化存储x个石子的SG值，-1表示未计算

// 递归计算x个石子的SG值（规则：可将x拆分为i和x-i两堆，i≤x-i）
int sg(int x)
{
    // 记忆化剪枝：若x的SG值已计算，直接返回（避免重复递归）
    if (f[x] != -1) return f[x];

    // S集合：存储x个石子能一步到达的所有状态的SG值
    unordered_set<int> S;
    // 遍历所有合法拆分方式：将x拆为i和x-i（i从0到x-1）
    // j≤i 是为了避免重复拆分（如i=1,j=2和i=2,j=1是同一状态）
    for (int i = 0; i < x; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            // 拆分后的状态SG值 = SG(i) ^ SG(j)（Sprague-Grundy定理）
            // 因为拆分后的两堆是独立游戏，总SG值为两堆SG值的异或
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));

    // 求mex值：找到不在S中的最小非负整数，作为x的SG值
    for (int i = 0;; i ++ )
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i; // 记忆化存储并返回
}

int main()
{
    // 输入石子堆的数量
    cin >> n;

    // 初始化SG数组：所有值设为-1（表示未计算）
    memset(f, -1, sizeof f);

    // 计算所有堆的SG值的异或和（核心胜负判断依据）
    int res = 0;
    while (n -- )
    {
        int x; // 当前堆的石子数
        cin >> x;
        res ^= sg(x); // 异或累积所有堆的SG值
    }

    // 胜负判断：
    // res≠0 → 先手有必胜策略；res=0 → 先手必败
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}