79.Acwing基础课第893题-简单-集合-Nim游戏

79.Acwing基础课第893题-简单-集合-Nim游戏

题目描述

\(给定 n 堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 S\)。

\(现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S，最后无法进行操作的人视为失败\)。

\(问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜\)。

输入格式

\(第一行包含整数 k，表示数字集合 S 中数字的个数\)。

\(第二行包含 k 个整数，其中第 i 个整数表示数字集合 S 中的第 i 个数 s_i\)。

\(第三行包含整数 n\)。

\(第四行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 h_i\)。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

\(1≤n,k≤10^5\),
\(1≤a_i,h_i≤10^9\)

输入样例：

2
2 5
3
2 4 7

输出样例：

Yes

代码：

// 包含字符串操作、输入输出、算法、无序集合头文件（unordered_set用于存储可达SG值）
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>

using namespace std;

// 常量定义：
// N=110：适配输入的取石子规则数量/堆数
// M=10010：适配石子数的最大范围（SG函数的记忆化上限）
const int N = 110, M = 10010;

int n, m;          // n：堆的数量；m：取石子的规则数（如可取1/2/3个，则m=3）
int s[N];          // s数组：存储取石子的规则（如s=[1,2,3]表示每次可取1、2或3个）
int f[M];          // f[x]（即SG(x)）：记忆化存储x个石子的SG值，-1表示未计算

// 递归计算x个石子的SG值（记忆化搜索）
int sg(int x)
{
    // 记忆化剪枝：若x的SG值已计算过，直接返回（避免重复递归）
    if (f[x] != -1) return f[x];

    // S集合：存储x个石子能一步到达的所有状态的SG值
    unordered_set<int> S;
    // 遍历所有取石子规则
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int sum = s[i]; // 当前规则：可取sum个石子
        // 若剩余石子数≥sum（操作合法），递归计算x-sum的SG值并加入集合
        if (x >= sum) S.insert(sg(x - sum));
    }

    // 求SG值的核心：找到最小的非负整数mex（最小排除值），即不在S中的最小非负整数
    for (int i = 0; ; i ++ )
        if (!S.count(i))          // 找到第一个不在S中的i
            return f[x] = i;      // 记忆化存储并返回SG(x)=i
}

int main()
{
    // 第一步：输入取石子规则
    cin >> m;                     // 输入规则数
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> s[i]; // 输入具体规则（如1 2 3）
    
    // 第二步：输入堆的数量
    cin >> n;

    // 初始化SG函数数组：所有值设为-1（表示未计算）
    memset(f, -1, sizeof f);

    // 第三步：计算所有堆的SG值的异或和（尼姆游戏的扩展）
    int res = 0;                  // 存储SG值的异或和
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x;                    // 当前堆的石子数
        cin >> x;
        res ^= sg(x);             // 异或累积所有堆的SG值
    }

    // 第四步：胜负判断（同尼姆游戏）
    // res≠0 → 先手有必胜策略；res=0 → 先手必败
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}