76.Acwing基础课第890题-简单-能被整除的数

76.Acwing基础课第890题-简单-能被整除的数

题目描述

\(给定一个整数 n 和 m 个不同的质数 p_1,p_2,…,p_m\)。

\(请你求出 1∼n 中能被 p_1,p_2,…,p_m 中的至少一个数整除的整数有多少个\)。

输入格式

\(第一行包含整数 n 和 m\)。

\(第二行包含 m 个质数\)。

输出格式

\(输出一个整数，表示满足条件的整数的个数\)。

数据范围

\(1≤m≤16\),
\(1≤n,p_i≤10^9\)

输入样例：

10 2
2 3

输出样例：

7

代码：

// 包含基础输入输出、算法头文件
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 定义长整型别名：防止乘法溢出（如多个质数相乘可能超过int范围）
typedef long long LL;

// 常量定义：N=20，最多支持20个质数（2^20≈1e6，循环次数可接受）
const int N = 20;

int p[N]; // 存储输入的m个质数

int main()
{
    int n, m; // n：范围上限（1~n）；m：质数的个数
    cin >> n >> m;

    // 输入m个质数，存入p数组
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];

    int res = 0; // 最终结果：1~n中能被至少一个质数整除的数的个数

    // ========== 核心：二进制枚举所有非空子集（容斥原理） ==========
    // 1<<m 表示2^m（所有子集的数量），i从1开始枚举非空子集
    for (int i = 1; i < 1 << m; i ++ )
    {
        int t = 1; // 存储当前子集所有质数的乘积
        int s = 0; // 存储当前子集的元素个数（质数个数）

        // 遍历当前子集的每一位，判断是否包含第j个质数
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            // i >> j & 1：判断i的第j位是否为1（包含第j个质数）
            if (i >> j & 1)
            {
                // 防溢出：如果当前乘积*t超过n，后续n/t=0，无需计算
                if ((LL)t * p[j] > n)
                {
                    t = -1; // 标记溢出，跳出循环
                    break;
                }
                t *= p[j]; // 累乘当前质数
                s ++ ;     // 子集大小+1
            }

        // 如果乘积未溢出（有效子集）
        if (t != -1)
        {
            // 容斥原理：奇加偶减
            // 子集大小为奇数：加上n/t（1~n中能被t整除的数的个数）
            // 子集大小为偶数：减去n/t
            if (s % 2) res += n / t;
            else res -= n / t;
        }
    }

    // 输出结果
    cout << res << endl;

    return 0;
}