74.Acwing基础课第888题-简单-求组合数Ⅳ

74.Acwing基础课第888题-简单-求组合数Ⅳ

题目描述

\(输入a，b，求 C^b_a的值\)。

输入格式

\(共一行，包含两个整数 a 和 b\)。

输出格式

\(共一行，输出 C^b_a的值\)。

数据范围

\(1≤b≤a≤5000\)

输入样例：

5 3

输出样例：

10

代码：

// 包含基础输入输出、算法、向量容器头文件（vector用于存储高精度数）
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

// 常量定义：N=5010，支持计算C(a,b)中a≤5000的组合数
const int N = 5010;

// 全局变量：
// primes[]：存储1~a范围内的所有质数
// cnt：质数的个数
// sum[]：存储每个质数在组合数中的指数（C(a,b) = ∏(p^sum[p])）
// st[]：筛法标记数组（true表示非质数）
int primes[N], cnt;
int sum[N];
bool st[N];

// 线性筛（欧拉筛）函数：筛选出1~n范围内的所有质数，时间复杂度O(n)
// 优势：每个数仅被其最小质因子筛一次，效率高于普通筛法
void get_primes(int n)
{
    // 遍历2~n的所有数
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        // 若未被标记，说明是质数，加入primes数组
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        // 用当前质数筛除合数
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true; // 标记primes[j]*i为非质数
            // 若i能被primes[j]整除，说明primes[j]是i的最小质因子，退出循环（避免重复筛）
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

// 计算n!中质因子p的指数（公式：n/p + n/p² + n/p³ + ... 直到p^k > n）
int get(int n, int p)
{
    int res = 0; // 存储指数总和
    while (n)
    {
        res += n / p; // 累加n/p（p的倍数个数）
        n /= p;       // 计算更高次幂的倍数个数（p², p³...）
    }
    return res;
}

// 高精度乘法函数：将高精度数a（逆序存储）与低精度数b相乘，返回结果
// 例如：a=[1,2]（表示21），b=2 → 结果=[2,4]（表示42）
vector<int> mul(vector<int> a, int b)
{
    vector<int> c; // 存储乘积结果（逆序）
    int t = 0;     // 存储进位
    // 遍历高精度数的每一位
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;          // 当前位乘积 + 上一位的进位
        c.push_back(t % 10);    // 存储当前位的结果（个位）
        t /= 10;                // 更新进位（十位及以上）
    }
    // 处理剩余进位（如t=123，需依次存储3、2、1）
    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return c;
}

int main()
{
    int a, b; // a：总数；b：选取数（计算C(a,b)）
    cin >> a >> b;

    // 步骤1：筛选出1~a范围内的所有质数
    get_primes(a);

    // 步骤2：计算每个质数在C(a,b)中的指数
    // 组合数公式：C(a,b) = a!/(b!*(a-b)!) → 质因子p的指数 = get(a,p) - get(b,p) - get(a-b,p)
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
    {
        int p = primes[i]; // 当前质数
        sum[i] = get(a, p) - get(a - b, p) - get(b, p);
    }

    // 步骤3：高精度乘法计算最终结果（初始为1）
    vector<int> res;
    res.push_back(1); // 初始值1（逆序存储：[1]表示1）

    // 遍历每个质数，按指数乘到结果中
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
        for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
            res = mul(res, primes[i]);

    // 步骤4：输出结果（逆序存储，需从后往前遍历）
    for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", res[i]);
    puts(""); // 换行

    return 0;
}