73.Acwing基础课第887题-简单-求组合数Ⅲ

73.Acwing基础课第887题-简单-求组合数Ⅲ

题目描述

\(给定 n 组询问，每组询问给定两个整数 a，b，请你输出 C^b_amod\ p的值\)。

输入格式

\(第一行包含整数 n\)。

\(接下来 n 行，每行包含一组 a, b和p\)。

输出格式

共 n 行，每行输出一个询问的解。

数据范围

\(1≤n≤20\)，
\(1≤b≤a≤10^{18}\)
\(1≤p≤10^{5}\)

输入样例：

3
5 3 7
3 1 5
6 4 13

输出样例：

3
3
2

代码：

// 包含基础输入输出、算法头文件
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 定义长整型别名：处理超大数（a/b可达1e18，需用LL存储）
typedef long long LL;

// 快速幂函数：计算 (a^k) mod p 的结果（费马小定理求逆元的核心）
// 参数：a-底数，k-指数，p-模数（本题中p是质数）
int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1; // 初始化结果为1（乘法单位元）
    // 二进制分解指数k，时间复杂度O(logk)
    while (k)
    {
        // k&1：判断k的二进制最低位是否为1（等价于k%2==1）
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p; // 结果乘当前底数，转LL防溢出
        a = (LL)a * a % p; // 底数平方，转LL防溢出
        k >>= 1; // 指数右移一位（等价于k /= 2）
    }
    return res; // 返回 (a^k) mod p
}

// 组合数计算函数：求 C(a,b) mod p（a,b < p，p是质数）
// 公式：C(a,b) = a*(a-1)*...*(a-b+1) / (b!) mod p
// 模运算中除法转乘逆元：除以i等价于乘i^(p-2) mod p
int C(int a, int b, int p)
{
    // 边界条件：选的数比总数多，组合数为0
    if (b > a) return 0;

    int res = 1;
    // 循环b次，计算分子：a*(a-1)*...*(a-b+1)，分母：1*2*...*b
    // 技巧：边乘分子边乘分母的逆元，避免先算大数再取模
    for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j -- )
    {
        res = (LL)res * j % p; // 乘分子项（j从a递减到a-b+1）
        // 乘分母项的逆元（i从1递增到b），逆元用快速幂求
        res = (LL)res * qmi(i, p - 2, p) % p;
    }
    return res;
}

// Lucas定理核心函数：求 C(a,b) mod p（a,b可达1e18，p是小质数）
// Lucas定理：C(a,b) ≡ C(a%p, b%p) * C(a/p, b/p) mod p
int lucas(LL a, LL b, int p)
{
    // 递归边界：a,b都小于p时，直接用普通组合数公式计算
    if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
    // 递归公式：拆分为 C(a%p, b%p) * C(a/p, b/p) mod p
    // 转LL防溢出：C返回int，但相乘可能超int范围
    return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

int main()
{
    int n; // n：查询的组数
    cin >> n;

    // 处理每组查询
    while (n -- )
    {
        LL a, b; // a：总数；b：选取数（a,b可达1e18）
        int p;   // p：模数（小质数，如1e5以内）
        cin >> a >> b >> p;
        // 调用Lucas定理计算并输出结果
        cout << lucas(a, b, p) << endl;
    }

    return 0;
}