68.Acwing基础课第204题-简单-表达整数的奇怪方式

68.Acwing基础课第204题-简单-表达整数的奇怪方式

题目描述

\(给定 2n 个整数 a_1,a_2,…,a_n 和 m_1,m_2,…,m_n，求一个最小的非负整数 x，满足 ∀i∈[1,n],x≡m_i(mod a_i)\)。

输入格式

\(第一行包含整数 n\)。

\(第 2…n+1 行：第 i+1 行包含两个整数 a_i 和 m_i，数之间用空格隔开\)。

输出格式

输出最小非负整数 x，如果 x 不存在，则输出 −1

数据范围

\(1≤ai≤2^{31}−1\),
\(0≤m_i<a_i\)
\(1≤n≤25\)
\(所有 m_i 的最小公倍数在 64 位有符号整数范围内\)。

输入样例：

2
8 7
11 9

输出样例：

31

代码：

// 包含输入输出流头文件（cin/cout用于输入输出）
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 定义长整型别名：防止大数运算溢出（方程组模数/余数可能很大）
typedef long long LL;

// 扩展欧几里得算法核心函数（适配LL类型）
// 功能：求解 ax + by = gcd(a, b) 的一组整数解 (x, y)，并返回gcd(a, b)
// 参数：a,b-方程系数；x,y-引用传递，存储求得的一组解
// 返回值：d = gcd(a, b)（a和b的最大公约数）
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    // 递归边界：b=0时，方程为 a*1 + 0*0 = a → 特解x=1, y=0
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    // 递归调用：欧几里得核心（gcd(a,b)=gcd(b,a%b)），交换x/y简化后续推导
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    // 回溯推导当前层解：y = y' - (a/b)*x（y'是递归返回的解）
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n; // n：同余方程组的个数（x ≡ a_i (mod m_i)，共n个方程）
    cin >> n;

    LL x = 0;    // 最终满足所有方程的解
    LL m1, a1;   // 第一个方程：x ≡ a1 (mod m1)
    cin >> m1 >> a1;

    // 迭代合并后续n-1个方程，逐步求解满足所有方程的解
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        LL m2, a2; // 当前要合并的方程：x ≡ a2 (mod m2)
        cin >> m2 >> a2;

        LL k1, k2; // 存储扩展欧几里得的解
        // 调用exgcd求解：m1*k1 + m2*k2 = gcd(m1, m2)
        LL d = exgcd(m1, m2, k1, k2);

        // 合并方程的核心判断：
        // 现有解满足 x = a1 + k*m1，要满足 x = a2 + t*m2 → a1 + k*m1 = a2 + t*m2
        // 整理得：m1*k - m2*t = a2 - a1 → 等价于 m1*k1 + m2*k2 = a2 - a1
        // 该方程有解的充要条件：gcd(m1,m2) 能整除 (a2 - a1)
        if ((a2 - a1) % d)
        {
            x = -1; // 无解，标记x=-1并退出循环
            break;
        }

        // ========== 求解合并后的方程特解 ==========
        // 1. 扩展欧几里得求得的k1是 m1*k1 + m2*k2 = d 的解，需放大 (a2-a1)/d 倍
        k1 *= (a2 - a1) / d;
        // 2. 调整k1到最小正整数解：k1的通解为 k1 + k*(m2/d)，取模保证解最小且正
        LL t = m2 / d;
        k1 = (k1 % t + t) % t;

        // 3. 计算合并后方程的一个特解：x = k1*m1 + a1（满足前两个方程）
        x = k1 * m1 + a1;

        // ========== 更新合并后的方程参数 ==========
        // 合并后的方程为：x ≡ a1_new (mod m_new)
        // m_new = lcm(m1, m2) = |m1*m2| / d（最小公倍数）
        LL m = abs(m1 / d * m2);
        a1 = k1 * m1 + a1; // 新的余数a1（合并后方程的a）
        m1 = m;            // 新的模数m1（合并后方程的m）
    }

    // 若有解，将最终解调整到模m1的最小非负整数解
    if (x != -1) 
        x = (a1 % m1 + m1) % m1;

    // 输出结果：-1表示无解，否则为满足所有方程的最小非负解
    cout << x << endl;

    return 0;
}