63.Acwing基础课第874题-简单-筛法求欧拉函数

63.Acwing基础课第874题-简单-筛法求欧拉函数

题目描述

\(给定一个正整数 n，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和\)。

输入格式

\(共一行，包含一个整数 n\)。

输出格式

\(共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。\)。

数据范围

\(1≤n≤10^6\),

输入样例：

6

输出样例：

12

代码：

// 包含输入输出流头文件（cin/cout依赖）
#include <iostream>

// 使用std命名空间，避免重复写std::
using namespace std;

// 定义长整型别名：防止求和时溢出（n≤1e6时，欧拉函数和会超出int范围）
typedef long long LL;

// 常量定义：N=1e6+10，适配题目中n≤1e6的场景
const int N = 1000010;

// 全局数组/变量（默认初始化为0/false，无需手动清零）
int primes[N];  // primes数组：存储筛选出的所有质数
int cnt;        // cnt：记录质数的个数
int euler[N];   // euler数组：euler[i]表示i的欧拉函数值φ(i)
bool st[N];     // st数组：标记是否为合数（st[i]=true → i是合数）

// 线性筛（欧拉筛）同时求1~n中所有数的欧拉函数值
// 核心：在筛质数的过程中，利用欧拉函数的性质递推计算φ(i)
void get_eulers(int n)
{
    // 欧拉函数性质1：φ(1)=1（1与自身互质，1~1中只有1个数）
    euler[1] = 1;
    
    // 遍历2~n的所有数，筛质数+递推欧拉函数
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        // 如果i未被标记（是质数）
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt ++ ] = i;  // 存入质数数组
            // 欧拉函数性质2：若p是质数，则φ(p)=p-1（1~p中除了p都与p互质）
            euler[i] = i - 1;
        }
        
        // 遍历已找到的质数，标记合数+递推欧拉函数
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;  // 当前要标记的合数t = 质数primes[j] × i
            st[t] = true;           // 标记t为合数
            
            // 关键：根据i与primes[j]的整除关系，分两种情况递推φ(t)
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                // 情况1：primes[j]是i的质因子（i能被primes[j]整除）
                // 欧拉函数性质3：若p是质数，且p|i，则φ(i×p) = φ(i) × p
                euler[t] = euler[i] * primes[j];
                break;  // 线性筛核心：保证每个合数只被最小质因子筛一次
            }
            // 情况2：primes[j]不是i的质因子（i不能被primes[j]整除）
            // 欧拉函数性质4：若p是质数，且p不整除i，则φ(i×p) = φ(i) × (p-1)
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
}

int main()
{
    int n; // n：输入的上限，要求计算1~n的欧拉函数之和
    cin >> n;

    // 调用函数，筛出1~n的质数并计算所有数的欧拉函数值
    get_eulers(n);

    LL res = 0; // 存储1~n欧拉函数的和，用LL防止溢出
    // 累加1~n所有数的欧拉函数值
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        res += euler[i];

    // 输出最终的和
    cout << res << endl;

    return 0; // 程序正常结束
}