62.Acwing基础课第873题-简单-欧拉函数

62.Acwing基础课第873题-简单-欧拉函数

题目描述

\(给定 n 个正整数 a_i，请你求出每个数的欧拉函数\)​。

欧拉函数的定义

\(1 \sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 \(\phi(N)\)。

若在算数基本定理中，\(N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_m^{a_m}\)，则：

\[\phi(N) = N \times \frac{p_1 - 1}{p_1} \times \frac{p_2 - 1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_m - 1}{p_m} \]

输入格式

\(第一行包含整数 n\)。

\(接下来 n 行，每行包含一个整数对 a_i\)。

输出格式

\(输出共 n 行，每行输出一个正整数 a_i 的欧拉函数。\)。

数据范围

\(1≤n≤100\),
\(1≤a_i≤2×10^9\)

输入样例：

3
3
6
8

输出样例：

2
2
4

代码：

// 包含输入输出流头文件（cin/cout依赖）
#include <iostream>

// 使用std命名空间，避免重复写std::
using namespace std;

// 计算单个整数x的欧拉函数φ(x)
// 欧拉函数定义：1~x中与x互质的数的个数
int phi(int x)
{
    // 初始化结果为x（欧拉函数公式的初始值）
    int res = x;
    
    // 质因数分解核心：枚举2到√x的所有数（i<=x/i等价于i<=sqrt(x)，避免浮点运算误差）
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        // 若i是x的质因子（能整除x）
        if (x % i == 0)
        {
            // 欧拉函数核心公式：φ(x) = x × (p1-1)/p1 × (p2-1)/p2 × ... × (pn-1)/pn
            // 先除后乘：res/i*(i-1) 避免中间结果溢出（若先乘后除可能超出int范围）
            res = res / i * (i - 1);
            
            // 循环除净x中所有的质因子i（确保后续i都是新的质因子）
            while (x % i == 0) 
                x /= i;
        }
    
    // 若循环结束后x>1，说明x本身是一个大于√原数的质因子，需补充计算
    if (x > 1) 
        res = res / x * (x - 1);

    // 返回最终的欧拉函数值
    return res;
}

int main()
{
    int n; // n：测试用例的组数
    cin >> n; // 输入测试用例组数
    
    // 循环处理n组测试用例
    while (n -- )
    {
        int x; // x：需要计算欧拉函数的整数
        cin >> x; // 输入待计算的整数
        cout << phi(x) << endl; // 输出φ(x)的结果
    }

    return 0; // 程序正常结束
}