60.Acwing基础课第870题-简单-约数之和

60.Acwing基础课第870题-简单-约数之和

题目描述

给定\(n\)个正整数 \(a_i\)，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 10⁹+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个整数 \(a_i\)。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对10⁹+7 取模。

输出格式

数据范围
1≤\(n\)​≤100

1≤\(a_i\)≤2×10⁹

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

12

代码：

// 包含输入输出流头文件（cin/cout依赖）
#include <iostream>
// 算法库（本代码未直接使用，属于通用模板保留）
#include <algorithm>
// 哈希表：用于存储质因子及其总指数（键=质因子，值=所有数中该质因子的总指数）
#include <unordered_map>
// 向量容器（本代码未使用，属于通用模板保留）
#include <vector>

// 使用std命名空间，避免重复写std::
using namespace std;

// 定义长整型别名：防止大数运算溢出（约数之和计算可能超出int范围）
typedef long long LL;

// 常量定义：
// N=110：测试用例数量上限（题目中n≤100，留冗余）
// mod=1e9+7：题目要求结果对10^9+7取模，竞赛常用模数
const int N = 110, mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int n; // n：输入的正整数个数（最终求这n个数乘积的约数之和）
    cin >> n;

    // 哈希表primes：统计所有数分解后，每个质因子的总指数
    // 例如：输入2和4，2=2^1，4=2^2 → primes[2] = 1+2=3
    unordered_map<int, int> primes;

    // 循环处理n个输入的正整数
    while (n -- )
    {
        int x; // x：当前要分解质因数的数
        cin >> x;

        // 质因数分解核心：枚举2到√x的所有数（i<=x/i等价于i<=sqrt(x)，避免浮点误差）
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            // 若i是x的质因子，循环除净x中所有的i，并统计指数
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;          // 把x中的i除干净（确保后续i是质因子）
                primes[i] ++ ;   // 该质因子的总指数+1
            }

        // 若循环结束后x>1，说明x本身是一个大于√原数的质因子，统计其指数
        if (x > 1) primes[x] ++ ;
    }

    LL res = 1; // 存储最终约数之和，初始为1（乘法单位元，不影响乘积）
    // 遍历所有质因子，应用「约数之和定理」计算总结果
    for (auto p : primes)
    {
        LL a = p.first;  // a：当前质因子（如2、3、5...）
        LL b = p.second; // b：该质因子的总指数（如2^6的6）
        
        LL t = 1; // t：存储当前质因子的幂和（a^0 + a^1 + ... + a^b），初始为a^0=1
        // 递推计算幂和：避免直接算高次幂，防止溢出且效率高
        while (b -- )
        {
            // 递推公式解析：
            // 初始t=1（a^0）
            // 第1次循环：t = 1*a + 1 = a+1（a^0+a^1）
            // 第2次循环：t = (a+1)*a + 1 = a²+a+1（a^0+a^1+a²）
            // 第b次循环：得到a^0+a^1+...+a^b
            t = (t * a + 1) % mod; // 每次计算后取模，防止溢出
        }
        
        // 约数之和定理：总约数和 = 各质因子幂和的乘积（取模）
        res = res * t % mod;
    }

    // 输出最终的约数之和
    cout << res << endl;

    return 0; // 程序正常结束
}