52.Acwing基础课第859题-简单-Kruskal算法求最小生成树

52.Acwing基础课第859题-简单-Kruskal算法求最小生成树

题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤10⁵，
1≤m≤2*10⁵
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

代码：

// 包含字符串操作头文件（本代码未直接使用，属于通用模板保留）
#include <cstring>
// 标准输入输出头文件
#include <iostream>
// 排序函数所需头文件（sort函数依赖）
#include <algorithm>

// 使用std命名空间，避免重复写std::
using namespace std;

// 常量定义：
// N：最大顶点数（题目通常约束1e5级别，适配稀疏图场景）
// M：最大边数（无向图需存双向边，故设为2e5）
// INF：无穷大（0x3f3f3f3f，用于标记图不连通）
const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

// 全局变量：
int n, m;               // n：顶点数，m：边数
int p[N];               // 并查集父节点数组：p[x]表示x的父节点，用于判断顶点连通性

// 边的结构体：存储一条无向边的信息
struct Edge
{
    int a, b, w;        // a、b：边的两个顶点，w：边的权重

    // 重载小于号运算符：用于sort函数对边按权重升序排序
    // Kruskal核心：贪心选权重最小的边，因此必须先排序
    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w; // 权重小的边排在前面
    }
}edges[M];              // 存储所有边的数组

// 并查集查找函数（带路径压缩优化）：找到顶点x的根节点
// 路径压缩：将x的父节点直接指向根节点，后续查找只需O(1)
int find(int x)
{
    // 递归终止条件：x的父节点是自己（x是根节点）
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); // 路径压缩：更新x的父节点为根节点
    return p[x];                      // 返回根节点
}

// Kruskal算法核心函数：求解最小生成树总权值，不连通则返回INF
int kruskal()
{
    // 第一步：将所有边按权重从小到大排序（贪心的核心操作）
    sort(edges, edges + m);

    // 第二步：初始化并查集（每个顶点自成一个集合）
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;   

    int res = 0, cnt = 0; // res：最小生成树总权值；cnt：生成树的边数
    // 第三步：遍历所有排序后的边，尝试加入生成树
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        // 取出当前边的两个顶点和权重
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        // 找到a和b的根节点（判断是否连通）
        a = find(a), b = find(b);
        // 若根节点不同，说明a和b不连通，可加入这条边（避免环）
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;       // 合并两个集合：将a的根节点挂到b的根节点下
            res += w;       // 累加当前边的权重到总权值
            cnt ++ ;        // 生成树边数+1
        }
    }

    // 第四步：判断是否存在最小生成树
    // 生成树性质：边数 = 顶点数 - 1；若cnt < n-1，说明图不连通
    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res; // 连通则返回总权值
}

int main()
{
    // 输入顶点数n和边数m（用scanf效率更高，适配大数据量）
    scanf("%d%d", &n, &m);

    // 输入m条边的信息，存入edges数组
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w}; // 将边的信息赋值给结构体数组
    }

    // 调用Kruskal算法，获取最小生成树总权值
    int t = kruskal();

    // 输出结果：若返回INF，说明图不连通，输出impossible；否则输出总权值
    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}