51.Acwing基础课第858题-简单-Prim算法求最小生成树
51.Acwing基础课第858题-简单-Prim算法求最小生成树
题目描述
给定一个 n 个点 m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V𝑉 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤500，
1≤m≤105
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
代码：
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
// 常量定义：
// N：最大顶点数（题目约束510）
// INF：无穷大（0x3f3f3f3f是常用的无穷大值，避免溢出且便于计算）
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n：顶点数，m：边数
int g[N][N]; // 邻接矩阵：g[i][j]表示顶点i到j的边权，初始为INF
int dist[N]; // dist[i]：顶点i到当前最小生成树的最短距离
bool st[N]; // st[i]：标记顶点i是否已加入最小生成树
// Prim算法：求解无向图的最小生成树总权值，不连通则返回INF
int prim()
{
// 初始化dist数组为无穷大：所有点初始时到生成树的距离都是无穷大
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0; // res：最小生成树的总权值
// 循环n次：依次将n个顶点加入生成树
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int t = -1; // t：记录当前未加入生成树、且dist最小的顶点
// 第一步：找到未加入生成树的dist最小的顶点t
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
// 条件：j未加入生成树，且（t未初始化 或 j的dist比t更小）
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
}
// 第二步：判断图是否连通（非第一个顶点时）
// 若dist[t]仍接近无穷大，说明没有边能连接到t，图不连通
if(i && dist[t] > INF/2) return INF;
// 第三步：累加边权（第一个顶点无前置边，不加）
if(i) res += dist[t];
st[t] = true; // 将t加入生成树
// 第四步：用顶点t更新其他顶点到生成树的最短距离
// 遍历所有顶点j，若t到j的边权比当前dist[j]更小，则更新
for(int j = 1; j <= n; j++)
dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res; // 返回最小生成树总权值
}
int main()
{
cin >> n >> m; // 输入顶点数n和边数m
int a, b, c; // a,b：边的两个顶点；c：边权
// 初始化邻接矩阵为无穷大：表示初始时所有顶点间无连接
memset(g, 0x3f, sizeof g);
// 输入m条边
while(m--)
{
cin >> a >> b >> c;
// 处理重边：保留a-b之间权值最小的边（无向图双向赋值）
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
// 调用Prim算法，获取最小生成树总权值
int t = prim();
// 输出结果：若返回值接近无穷大，说明无最小生成树；否则输出总权值
if(t > INF/2) cout << "impossible" << endl;
else cout << t << endl;
return 0;
}
Prim 算法（朴素版）
（1）核心思路
与迪杰斯特拉（Dijkstra）算法流程高度相似，核心是 “贪心选择当前离连通块最近的顶点”，逐步扩展连通块，直到覆盖所有顶点。
- 关键定义：
- 集合 S：当前已纳入生成树的顶点（连通块）。
- 距离数组
dist[]：dist[i]表示顶点 i 到集合 S 的最短边权重（若 i 在 S 中，dist[i]=0；若无边连接，dist[i]=∞）。
（2）算法流程
-
初始化：所有顶点的
dist[]设为∞，dist[任意起点]可设为 0（或默认从第一个顶点开始）。 -
迭代 n 次（n 为顶点数）：
a. 找到集合 S 外
dist[]最小的顶点 t（“离连通块最近的顶点”）。b. 若 t 的
dist[]仍为∞，说明图不连通，无 MST。c. 将 t 的
dist[]累加到 MST 总权重（t 与 S 的最短边即为生成树的一条边）。d. 将 t 加入集合 S（标记为已访问）。
e. 用 t 更新其他顶点到 S 的距离：若顶点 j 与 t 的边权重 <
dist[j]，则更新dist[j]。
（3）适用场景与时间复杂度
- 适用：稠密图（顶点数少、边数多，如 n=500，m=1e5）。
- 时间复杂度：O (n²)（n 次迭代，每次遍历 n 个顶点找最小值）。
- 优势：代码短，思路与 Dijkstra 一致，容易记忆。
（4）算法求最小生成树 内容详细总结
①算法核心原理与前置定义
A.最小生成树（MST）基础定义
给定一个无向连通图，最小生成树是满足以下条件的边集合：
- 能将图中所有节点连通，且无环（符合树的基本性质，边数固定为「节点数 n-1」）；
- 所有选中边的权重之和为全图最小。
B.Prim 算法核心贪心思想
Prim 算法采用 「逐步扩展连通块」 的贪心策略，核心逻辑为：
- 从任意一个起点（通常选 1 号节点）出发，构建初始连通块；
- 每一轮迭代，找到未加入连通块、且离当前连通块距离最短的节点，将其加入连通块；
- 用新加入的节点，更新剩余未加入节点到连通块的最短距离；
- 重复迭代直到所有节点都加入连通块，最终累加的距离和即为最小生成树的总权重；若迭代中无法找到可加入的节点，说明图不连通，无最小生成树。
C.算法核心变量
g[N][N]：邻接矩阵，存储节点间的边权（无边则为INF=0x3f3f3f3f）；dist[N]：存储未加入连通块的节点到当前连通块的最短距离；st[N]：标记节点是否已加入连通块（true= 已加入，false= 未加入）；res：最小生成树的总权重。
②Prim 算法逐轮迭代模拟
A.代码的核心执行顺序（必须严格遵守）
prim()函数执行流程：
初始化 dist 全为 INF (0x3f3f3f3f)，res=0
循环 n 次（i 从 0 到 n-1）：
a. 找未加入集合 st[j]=false 中，dist 最小的节点 t
b. 若 i≠0 且 dist[t]==INF，说明图不连通，返回 INF
c. 若 i≠0，将 dist[t] 累加到总权重 res
d. 用节点 t 更新所有节点的 dist 数组：dist[j] = min(dist[j], g[t][j])
e. 标记 t 加入集合：st[t] = true
循环结束，返回 res
B.逐轮模拟
算法共迭代 n=5 次，每次选择未加入连通块、且到连通块距离最短的节点，更新其他节点的距离，最终累加总权重。
初始状态（迭代前）
dist = [INF, INF, INF, INF, INF]（索引 0 未使用，1-5 对应节点 1-5）；st = [false, false, false, false, false]；res = 0。
第 1 轮迭代（i=0，加入第 1 个节点：节点 1）
-
找最短距离节点：所有节点未加入，
dist均为INF，默认选择节点 1（t=1）。 -
更新总权重：
i=0是第一次迭代，不加入权重（res仍为 0）。 -
用节点 1 更新其他节点的距离：
-
节点 2：
dist[2] = min(INF, g[1][2]=100) = 100； -
节点 3：
dist[3] = min(INF, g[1][3]=150) = 150； -
节点 4：
dist[4] = min(INF, g[1][4]=140) = 140； -
节点 5：与节点 1 无边，
dist[5]仍为INF。
-
-
标记节点 1 加入连通块：
st[1] = true。
本轮结束后状态：
-
dist = [INF, 100, 150, 140, INF]；st = [true, false, false, false, false]；res = 0。
第 2 轮迭代（i=1，加入第 2 个节点：节点 2）
-
找最短距离节点：未加入节点为 2、3、4、5，
dist最小的是节点 2（dist[2]=100，t=2）。 -
更新总权重：
i≠0，res += dist[2]→res = 0 + 100 = 100。 -
用节点 2 更新其他节点的距离：
-
节点 4：
dist[4] = min(140, g[2][4]=80) = 80； -
节点 5：
dist[5] = min(INF, g[2][5]=80) = 80； -
节点 3：与节点 2 无边，
dist[3]仍为 150。
-
-
标记节点 2 加入连通块：
st[2] = true。
本轮结束后状态：
dist = [INF, 100, 150, 80, 80]；st = [true, true, false, false, false]；res = 100。
第 3 轮迭代（i=2，加入第 3 个节点：节点 4）
- 找最短距离节点：未加入节点为 3、4、5，
dist最小的是节点 4（dist[4]=80，t=4）。 - 更新总权重：
res += dist[4]→res = 100 + 80 = 180。 - 用节点 4 更新其他节点的距离：
- 节点 3：
dist[3] = min(150, g[4][3]=15) = 15； - 节点 5：
dist[5] = min(80, g[4][5]=10) = 10； - 节点 1、2：已加入连通块，无需更新。
- 节点 3：
- 标记节点 4 加入连通块：
st[4] = true。
本轮结束后状态：
dist = [INF, 100, 15, 80, 10]；st = [true, true, false, true, false]；res = 180。
第 4 轮迭代（i=3，加入第 4 个节点：节点 5）
- 找最短距离节点：未加入节点为 3、5，
dist最小的是节点 5（dist[5]=10，t=5）。 - 更新总权重：
res += dist[5]→res = 180 + 10 = 190。 - 用节点 5 更新其他节点的距离：
- 节点 3：与节点 5 无边，
dist[3]仍为 15； - 其他节点：已加入连通块，无需更新。
- 节点 3：与节点 5 无边，
- 标记节点 5 加入连通块：
st[5] = true。
本轮结束后状态：
dist = [INF, 100, 15, 80, 10]；st = [true, true, false, true, true]；res = 190。
第 5 轮迭代（i=4，加入第 5 个节点：节点 3）
- 找最短距离节点：未加入节点只有 3，
dist[3]=15（t=3）。 - 更新总权重：
res += dist[3]→res = 190 + 15 = 205。 - 用节点 3 更新其他节点的距离：
- 所有节点已加入连通块，无需更新。
- 标记节点 3 加入连通块：
st[3] = true。
本轮结束后状态：
- 所有节点均加入连通块，迭代结束；
- 最终
res = 205。
③最终结果
- 最小生成树总权重：
205； - 生成树的边（通过迭代过程反推）：1-2、2-4、4-5、4-3（共 4 条边，符合
n-1=4的树的性质）； - 图的连通性：所有节点均成功加入连通块，图是连通的，无 “impossible” 情况。
④代码运行验证
将图的边权输入提供的代码，运行后输出结果为 205，与模拟结果完全一致，验证了算法的正确性。
浙公网安备 33010602011771号