30.Acwing基础课第143题-简单-最大异或对

30.Acwing基础课第143题-简单-最大异或对

题目描述

在给定的 N 个整数 \(A_1，A_2……A_N\)中选出两个进行 xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式

第一行输入一个整数 N。

第二行输入 N 个整数\(A_1，A_2……A_N\)。

输出格式

输出一个整数表示答案。

数据范围

\(1≤N≤10^5\),
\(0≤A_i<2^{31}\)

输入样例：

3
1 2 3

输出样例：

3

最大异或对（字典树应用）

1. 题意

• 给定 n 个整数（n≤1e5，每个数≤2³¹-1），从其中选两个数进行异或运算，求最大值。
• 异或规则：二进制位相同为 0，不同为 1（俗称 “不进位加法”），例：5 (101) XOR 3 (011)=6 (110)。

2. 解法思路

（1）暴力解法（超时）

• 思路：两重循环枚举所有数对（i,j），计算 a [i]^a [j]，维护最大值。
• 时间复杂度：O (n²)（n=1e5 时为 1e10 次运算，远超 1 秒阈值 1e8），必然超时。

（2）优化解法：字典树（Trie）

• 核心思想：将 “找与 a [i] 异或最大的数” 转化为 “字典树的贪心查询”，把内层循环 O (n) 优化为 O (31)（31 位二进制）。
• 字典树作用：存储所有数的二进制形式（从高位到低位，共 31 位），支持高效查询 “与目标数异或最大的数”。

3. 核心知识点

（1）字典树的构建与查询规则

• 构建：每个数按二进制从高位（第 30 位）到低位插入字典树，0 走左子树，1 走右子树。
• 查询（贪心策略）：
  1. 对目标数 a [i]，从高位到低位遍历二进制位；
  2. 每一位优先选择与当前位不同的子树（异或结果为 1，最大化高位）；
  3. 若目标子树不存在，则选择同方向子树；
  4. 遍历完 31 位后，得到的数即为与 a [i] 异或最大的数。

（2）时间复杂度

• 构建字典树：O (n×31)，查询每个数：O (31)，总复杂度 O (n×31)≈3e6，秒过。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 数组大小定义
const int N = 100010;   // 输入数字的最大数量
const int M = 3100010; // 字典树节点总数：每个数31位，31*1e5=310万

int n;                 // 数字个数
int a[N];               // 存储输入的所有数字
int son[M][2];          // 字典树：son[节点编号][0/1] = 子节点编号
int idx;                // 节点编号分配器，0是根节点

// 把数字 x 插入字典树（按二进制位从高位到低位插入）
void insert(int x)
{
    int p = 0; // 从根节点开始
    
    // 从第30位到第0位遍历（int是31位有效数字）
    for (int i = 30; i >= 0; i--)
    {
        // 取出 x 的第 i 位二进制数（0 或 1）
        int u = x >> i & 1;
        
        // 如果当前节点没有这个子节点，就新建一个节点
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
        
        // 走到子节点
        p = son[p][u];
    }
}

// 在字典树中查找与 x 异或结果最大的数，并返回最大异或值
int search(int x)
{
    int p = 0;    // 从根节点开始
    int res = 0;  // 记录最大异或结果
    
    // 从高位到低位贪心查找
    for (int i = 30; i >= 0; i--)
    {
        // 取出 x 的第 i 位二进制
        int u = x >> i & 1;
        
        // 贪心策略：尽量走相反的位（异或=1）
        if (son[p][!u])
        {
            // 这一位可以异或出1，结果加上这一位的值
            res += 1 << i;
            
            // 走向相反的节点
            p = son[p][!u];
        }
        else
        {
            // 没有相反的位，只能走相同的节点（异或=0）
            p = son[p][u];
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    // 输入数字个数
    scanf("%d", &n);
    
    // 输入所有数字，并插入字典树
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        insert(a[i]);
    }

    int res = 0;
    // 遍历每个数字，查询它能得到的最大异或值
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        res = max(res, search(a[i]));

    // 输出最终答案
    printf("%d\n", res);

    return 0;
}