6.差分（快速区间 / 子矩阵更新）

6.差分（快速区间 / 子矩阵更新）

核心思想

差分是前缀和的逆运算，通过预处理差分数组，将 “区间加 C” 从 O (n) 优化为 O (1)，最终通过前缀和还原原数组。

1. 一维差分

定义

• 原数组a[1..n]，差分数组b[1..n]，满足a[i] = b[1] + b[2] + ... + b[i]（a 是 b 的前缀和）；
• 区间更新公式：给a[l..r]加 C → b[l] += C，b[r+1] -= C（若 r+1>n 则忽略b[r+1]）；
• 初始化：原数组非零时，可视为 “给每个位置 i 的区间 (i,i) 加 a [i]”。

代码模板（含应用）

#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];//原数组a[N],差分数组b[N]

// 给区间[l..r]加C
void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    if (r + 1 <= N) b[r+1] -= c;
}

int main() 
{
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    // 初始化差分数组（原数组a非零）
    for(int i = 1; i <= n; i++)  
    {
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i] - a[i-1];
    }
    // 处理m次区间更新
    while (m--) 
    {
        int l, r, c;
        cin>>l>>r>>c;
        insert(l, r, c);
    }
    // 求前缀和还原原数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)  
    {
        a[i] = a[i-1] + b[i];
        cout << a[i] << ' ';
    }
    cout << endl;
    
    return 0;
}

2. 二维差分（子矩阵更新）

定义

• 原矩阵a[1..n][1..m]，差分矩阵b[1..n][1..m]，满足a是b的二维前缀和；
• 子矩阵更新公式：给a[x1..x2][y1..y2]加 C →b[x1][y1] += C，b[x2+1][y1] -= C，b[x1][y2+1] -= C，b[x2+1][y2+1] += C；
• 初始化：原矩阵非零时，视为 “给每个位置 (i,j) 的子矩阵 (i,j,i,j) 加 a [i][j]”。

\[\begin{cases} b_{x_{1},y_{1}} += C\\ b_{x_{2}+1,y_{1}} -= C\\ b_{x_{1},y_{2}+1} -= C\\ b_{x_{2}+1,y_{2}+1} += C \end{cases} \]

代码模板（含应用）

#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];

// 给子矩阵(x1,y1)-(x2,y2)加C
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) 
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2+1][y1] -= c;
    b[x1][y2+1] -= c;
    b[x2+1][y2+1] += c;
}

int main() 
{
    int n, m, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    // 初始化差分矩阵（原矩阵a非零）
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
    }
    // 处理q次子矩阵更新
    while (q--) 
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    // 求二维前缀和还原原矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) 
        {
            b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}