第六章 图

第六章 图

6.1 图的定义和基本数据

6.1.1 图的定义

（1）图的核心定义

图是由顶点集V和顶点间的关系集合E（边的集合）组成的一种数据结构，可以用二元组定义为：G=（V,E）。

（2）无向图与有向图的定义及二元组表示

类型	核心特征	二元组表示示例	符号区别
无向图	边无方向性，无箭头标识	无向图G1=(V1,E1)，其中V1={a,b,c,d}，E1={(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d)}	边集元素用小括号 ()表示，代表两点间无向边
有向图	边有方向性，用箭头标识（边称为 “弧”）	有向图G2=(V2,E2)，其中V2={1,2,3}，E2=	弧集元素用 ** 尖括号 <>** 表示，尖括号内前者为弧尾（箭头起点）、后者为弧头（箭头终点）

注：顶点集均用 花括号 {} 表示，仅边 / 弧集的符号随图的方向属性变化。

例如，对于图6-1所示的无向图G₁和有向图G₂，它们的数据结构可以描述为：G₁=(V₁,E₁), 其中 V₁={a,b,c,d},E₁={(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d)},而G₂=(V₂,E₂)，其中V₂={1,2,3}, E₂={<1,2>,<1,3>,<2,3>,❤️,1>}。

6.1.2 图的基本术语

（1）有向图与无向图（基础分类）

• 有向图：边有方向性，边称为弧，有明确的弧尾（起点）和弧头（终点），用箭头标识。
• 无向图：边无方向性，仅表示两点间存在连接，无箭头标识。

（2）完全图、稠密图、稀疏图

①完全图

定义：任意两个顶点之间都存在边（无向图）或弧（有向图）的图，分为无向完全图和有向完全图。

• 无向完全图：n个顶点的无向完全图，边数为组合数C_n²=n(n−1)/2（推导：任意两点仅需 1 条无向边连接，共需从n个顶点选 2 个的组合数）。例如 4 个顶点的无向完全图，边数为4×3/2=6。
• 有向完全图：n个顶点的有向完全图，弧数为排列数A_n²=n(n−1)（推导：两点间需 2 条方向相反的弧，弧数为无向完全图边数的 2 倍）。例如 4 个顶点的有向完全图，弧数为4×3=12。

②一般图的边 / 弧数范围

• 无向图：顶点数为n，边数e满足0≤e≤n(n−1)/2。
• 有向图：顶点数为n，弧数e满足0≤e≤n(n−1)。

③稠密图与稀疏图

• 稠密图：边 / 弧数接近对应完全图边 / 弧数的图。
• 稀疏图：边 / 弧数远少于对应完全图边 / 弧数的图（讲课表述中 “析出符” 为口误，实际为稀疏图）。

（3）度、入度、出度

①度的通用定义

图中一个顶点依附的边或弧的数目，称为该顶点的度。

②有向图的入度与出度

有向图中顶点的度为入度与出度之和，具体定义如下：

• 入度：顶点依附的弧头（箭头指向该顶点）的数目，代表进入该顶点的弧的数量。
• 出度：顶点依附的弧尾（箭头从该顶点出发）的数目，代表从该顶点发出的弧的数量。

③无向图的度

无向图中无入度、出度之分，顶点的度即为其相连的边的数目。

典型问题：特殊有向图的形状

若有向图中仅 1 个顶点入度为 0，其余顶点入度均为 1，则该图为有向树（入度为 0 的顶点为树根，其余顶点对应树的子节点，有唯一的双亲节点）。

（4）连通图与强连通图

类型	适用图	核心定义
连通图	无向图	图中 任意两个顶点v和u 都存在从v到u的路径
强连通图	有向图	图中 任意两个顶点v和u 都存在双向路径（既存在v到u的路径，也存在u到v的路径）

反例：若无向图中存在两个顶点组（如V₀−V₁−V₂−V₃和V₄−V₅），两组内顶点互通但组间无路径，则为非连通图；有向图中若存在顶点对无双向路径（如V₁无法到V₂），则为非强连通图。

（5）网

图的边 / 弧上附带的相关数值称为权（可表示距离、耗费等），带权的图称为网，也叫有权图。

（6）子图

设两个图G=(V,{E})和G1=(V₁,{E₁})，若满足V₁⊆V且E₁⊆E，则称G₁是G的子图。例如课件中图 (a) 的顶点和边的部分子集构成的图 (b)、图 (c)，均为图 (a) 的子图。

6.2 图的存储结构

6.2.1 邻接矩阵（顺序存储，底层为二维数组）

（1） 邻接矩阵的存储原理

在邻接矩阵表示中，除了存放顶点本身信息外，还用一个矩阵表示各个顶点之间的关系。若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G),则矩阵中第i行 第j列元素值为1，否则为0 。

图的邻接矩阵定义为：

\[A[i][j] = \begin{cases} 1 & \text{若}(i,j) \in E(G) \text{或} <i,j> \in E(G) \\ 0 & \text{其它情形} \end{cases} \]

邻接矩阵通过顶点表存储顶点本身信息，通过二维矩阵存储顶点间的邻接关系：

• 若两顶点间存在边 / 弧，矩阵对应位置值为1（普通图）或边 / 弧的权值（网）；
• 若不存在边 / 弧，普通图对应位置为0，网对应位置为 ∞；
• 顶点自身到自身（主对角线）：考试建议记为0，教材通常记为 ∞，需注意题目约定。

（2）不同类型图的邻接矩阵表示

①无向图的邻接矩阵

• 构建步骤：

  ① 按顶点数构建n×n矩阵（5 顶点为5×5），初始化全为 0；

  ② 若顶点Vi与Vj有边，将矩阵[i][j]和[j][i]置为 1（无向边双向对称）。

• 讲课易错点：无向图 7 条边对应矩阵 14 个 1（每条边被双向记录，边数 = 矩阵中 1 的个数 / 2）。

• 核心特点：

  1. 矩阵对称；
  2. 第i行或第i 列1的个数为顶点i 的度；
  3. 完全无向图的邻接矩阵主对角线为 0，其余位置全为 1；
  4. 矩阵中1的个数的一半为图中边的数目
  5. 可通过[i][j]是否为 1，快速判断Vi与Vj是否有边;
  6. 占用的存储单元数目为n+2e。

②有向图的邻接矩阵

• 构建约定：矩阵记录顶点发出去的弧（出度边），即[i][j]=1表示存在<Vi,Vj>的弧。

• 构建步骤（以4 顶点有向图为例）：

  ① 构建4×4矩阵并初始化全为 0；

  ② 若Vi发出弧至Vj，仅将[i][j]置为 1（入度边不记录在该行）。

• 核心特点：

  1. 矩阵不一定对称（有向弧单向性）；
  2. 顶点i的出度= 第i行 1 的个数，入度= 第i列 1 的个数，总度数 = 出度 + 入度；
  3. 矩阵中 1 的个数 = 图中弧的总数（无重复记录）；
  4. 完全有向图的邻接矩阵主对角线为 0，其余位置全为 1；
  5. 很容易判断顶点i 和顶点j 是否有弧相连。

③网的邻接矩阵（带权图）

• 课件定义公式：

  \[A[i][j] = \begin{cases} w_{ij} & \text{若}(i,j) \in E(G) \text{或} <i,j> \in E(G) \\ 0 & \text{若} i = j \\ \infty & \text{其它情形} \end{cases} \]

• 构建注意事项（讲课重点强调）：

  ① 权值w_ij替换普通图的 “1”，表示两顶点间边的权重；

  ② 主对角线的 0/∞需按题目要求选择（考试优先用 0）；

  ③ 无向网矩阵对称，有向网矩阵不对称。

（3）邻接矩阵的优缺点（扩展补充）

• 优点：判断两顶点是否邻接效率高（O (1)）；计算顶点度（无向图）、出 / 入度（有向图）方便；
• 缺点：空间复杂度高（O (n²)），适合存储稠密图；稀疏图会造成大量空间浪费。

6.2.2 邻接表（链式存储，头节点 + 表节点）

（1）邻接表的存储结构（课件定义）

把同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，链表的每一个结点代表一条边，叫做表结点（边结点），邻接点域adjvex保存与该边相关联的另一顶点的顶点下标 ， 链域next存放指向同一链表中下一个表结点的指针 ，数据域weight存放边的权。边链表的表头指针存放在头结点中。头结点以顺序结构存储，其数据域info存放顶点信息，链域first指向链表中第一个顶点

邻接表由头节点数组和表节点链表组成，网的表节点需额外增加权值域：

节点类型	结构组成	说明
头节点	data（顶点信息）+firstarc（指向首个表节点的指针）	按顶点顺序存储，形成头节点数组
普通图表节点	adjvex（邻接点的顶点下标）+nextarc（指向下一表节点的指针）	存储顶点的出度边 / 邻接边
网的表节点	adjvex+weight（边的权值）+nextarc	比普通图表节点多权值域，记录边的权重

（2）不同类型图的邻接表表示

①无向图的邻接表

• 构建逻辑：每个顶点的头节点链表，存储所有与该顶点邻接的顶点下标（无向边双向存储，如V_i邻接V_j，则V_i链表有j，V_j链表有i）。
• 讲课示例：5 顶点无向图中，V₁的表节点为 V₂（下标 3）、V₄（下标 1），顺序可任意。
• 核心特点：
  1. 邻接表表示不唯一（表节点链入顺序可自由调整）；
  2. 第i个头节点的链表节点数 = 顶点i的度；
  3. 所有表节点总数 = 2× 边数（无向边双向记录）；
  4. 空间复杂度为O(n+2e)（n 为顶点数，e 为边数）。

②有向图的邻接表与逆邻接表

• 邻接表（出边表）：

  ① 存储逻辑：仅记录顶点的出度边，即表节点为顶点发出弧的终点下标；

  ② 特点：第i个头节点的链表节点数 = 顶点i的出度；空间复杂度为O(n+e)（每条弧仅记录一次）；无法直接求入度。

• 逆邻接表（入边表）：

  ① 存储逻辑：记录顶点的入度边，即表节点为指向该顶点的弧的起点下标；

  ② 作用：解决有向图邻接表无法直接求入度的问题，第i个头节点的链表节点数 = 顶点i的入度。

• 讲课易错点：无特殊说明时，有向图邻接表默认指出边表。

③网的邻接表

• 构建逻辑：表节点增加weight域存储边的权值，其余结构与普通有向 / 无向图邻接表一致；

• 讲课典型例题：已知网的邻接表重构网

  ① 核心方法：根据头节点的顶点信息，遍历每个头节点的表节点，按adjvex（邻接点下标）和weight（权值）绘制带权边；

  ② 意义：验证了存储结构可反向恢复逻辑结构，体现数据结构 “存储 - 还原” 的核心价值。

（3）邻接表的优缺点（扩展补充）

• 优点：空间利用率高（O (n+e)），适合存储稀疏图；便于遍历顶点的邻接边；
• 缺点：判断两顶点是否邻接效率低（需遍历对应头节点的链表）；无向图存在边的重复存储。

6.2.3邻接矩阵与邻接表的核心对比

对比维度	邻接矩阵	邻接表
存储结构	二维数组（顺序存储）	头节点数组 + 链表（链式存储）
空间复杂度	O (n²)（与边数无关）	无向图 O (n+2e)、有向图 O (n+e)
邻接判断效率	O (1)（直接查矩阵下标）	O (d)（d 为对应顶点的度，需遍历链表）
顶点度计算	无向图：行 / 列 1 的个数；有向图：行 = 出度、列 = 入度	无向图：链表节点数；有向图：邻接表 = 出度、逆邻接表 = 入度
适用场景	稠密图、需快速判断邻接的场景	稀疏图、需频繁遍历邻接边的场景

6.2.4讲课中的考试与学习注意事项

1. 邻接矩阵主对角线约定：考试建议主对角线记为 0，教材常用∞，需严格遵循题目要求；
2. 有向图邻接矩阵的边数：矩阵中 1 的个数 = 弧的总数（无向图为 1 的个数 / 2）；
3. 邻接表的唯一性：表节点顺序不影响存储有效性，因此同一图的邻接表表示不唯一；
4. 知识衔接：掌握图的存储结构后，后续将学习图的核心操作 ——图的遍历（深度优先 / 广度优先），为后续最小生成树、最短路径等应用打基础。

6.3 图的遍历

6.3.1图的遍历概述

（1）定义

从图中某一顶点出发，访遍图中其余所有顶点且每个顶点仅被访问一次的操作，称为图的遍历。

（2）核心意义

图的遍历算法是求解图的连通性问题、拓扑排序、关键路径等后续图应用算法的基础，是图论算法体系的核心前置知识点。

（3）两种经典遍历方法

深度优先搜索（DFS）遍历、广度优先搜索（BFS）遍历，两种方法均可实现对图中所有顶点的不重复访问，且遍历序列不唯一。

6.3.2 深度优先搜索（DFS）遍历

（1）算法核心思想

类似于树的先序遍历，遵循 “先深后广、回溯探索” 的原则，优先沿着一条路径访问到尽头，再回溯到上一顶点探索其他分支。

（2）算法执行步骤（课件标准流程）

1. 首先访问顶点i，并将其访问标记置为已访问（即visited[i]=1，初始化时所有顶点visited值为 0）；
2. 搜索与顶点i有边相连的下一个顶点j，若j未被访问，则访问j并标记visited[j]=1，再从j开始重复此探索过程；若j已访问，则继续查找与i相连的其他顶点；
3. 若与i相连的所有顶点均已访问，回溯到上一个访问的顶点，重复上述探索过程，直至图中所有顶点都被访问完毕。

（3）辅助存储结构

遍历过程需借助栈实现回溯，栈遵循 “后进先出” 原则，用于记录访问路径，当当前顶点分支探索完毕时，从栈中弹出顶点实现回溯。

（4）典型示例（无向图 G7，从顶点 0 出发）

例如，对所示无向图G7，从各个顶点出发的深度优先搜索遍历序列可有多种。
在无向图G7中，从顶点0出发的深度优先搜索遍历序列举如下：

1. 初始访问顶点 0，标记visited[0]=1，选择其邻接顶点 1 进行访问，标记visited[1]=1；
2. 从顶点 1 出发，选择未访问的邻接顶点 4，标记visited[4]=1，再从 4 出发访问邻接顶点 5，标记visited[5]=1；
3. 顶点 5 的邻接顶点（4、1）均已访问，回溯至顶点 4，其邻接顶点（1、5）也已访问，继续回溯至顶点 1；
4. 顶点 1 剩余未访问邻接顶点 6，访问 6 并标记visited[6]=1，再从 6 出发访问未访问的邻接顶点 2，标记visited[2]=1；
5. 顶点 2 的邻接顶点（0、6）均已访问，依次回溯至 6、1，再回溯至顶点 0；
6. 顶点 0 剩余未访问邻接顶点 3，访问 3 并标记visited[3]=1，至此所有顶点访问完毕。
   • 其中一个合法遍历序列：0→1→4→5→6→2→3（序列不唯一）。

（5）关键结论与考点

1. 遍历起点可任意选择，考试中常指定起点；
2. 同一顶点的多个未访问邻接顶点可任选访问顺序，因此DFS 遍历序列不唯一；
3. 考试常考 “判断给定序列是否为合法 DFS 遍历序列”，需验证序列是否符合 “先深后广、回溯探索” 的逻辑。

6.3.3 广度优先搜索（BFS）遍历

（1）算法核心思想

遵循 “先广后深、分层访问” 的原则，先访问起始顶点的所有邻接顶点（同层顶点），再依次访问各邻接顶点的邻接顶点（下一层顶点）。

（2）算法执行步骤（课件标准流程）

1. 初始化队列并置空，访问起始顶点后将其入队；
2. 若队列非空，取出队头顶点，依次访问其所有未被访问的邻接顶点，将这些顶点标记为已访问并入队；
3. 重复步骤 2，直至队列为空；若此时仍有未访问顶点，需另选起点重复遍历；
4. 队列为空时，本次遍历结束。

（3）辅助存储结构

遍历过程需借助队列实现分层访问，队列遵循 “先进先出” 原则，保证同层顶点按入队顺序依次处理。

（4）典型示例（无向图 G7，从顶点 1 出发）

例如，对下图所示无向图G7，从顶点1出发的广度优先搜索遍历序列可有多种，下面仅给出三种，其它可作类似分析。
在无向图G7中，从顶点1出发的广度优先搜索遍历序列举如下：

1. 初始访问顶点 1，入队；出队后访问其所有未访问邻接顶点 2、3（可互换顺序），标记后入队；
2. 队头顶点 2 出队，访问其未访问邻接顶点 4、5（可互换顺序），标记后入队；
3. 队头顶点 3 出队，访问其未访问邻接顶点 6、7（可互换顺序），标记后入队；
4. 队头顶点 4 出队，访问其未访问邻接顶点 8，标记后入队；
5. 依次处理队中剩余顶点 5、6、7、8，均无未访问邻接顶点，队列最终为空，遍历完成。
   • 合法遍历序列示例：1→2→3→4→5→6→7→8、1→3→2→7→6→5→4→8 等（序列不唯一）。

例如，对下图所示无向图G7，从顶点1出发的广度优先搜索遍历序列可有多种，下面仅给出三种，其它可作类似分析。
在无向图G7中，从顶点1出发的广度优先搜索遍历序列举三种为：
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 3, 2, 7, 6, 5, 4, 8
1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 8

（5）快速判断合法 BFS 序列的技巧

可将遍历序列按 “层” 划分：起始顶点为第 0 层，其邻接顶点为第 1 层，第 1 层顶点的邻接顶点为第 2 层，以此类推。同层顶点的顺序可任意互换，只要满足 “先访问上层顶点，再访问下层顶点” 即可判定为合法序列。

6.4 图的应用.

6.4.1生成树和最小生成树

（1）核心思想：复杂问题简化（图→树）

计算机解决复杂结构问题的通用逻辑：多对多的图→一对多的树→线性结构，其中树可进一步简化为二叉树（任意树可与二叉树相互转换，森林可拆解为多棵树再转二叉树），实现难→易的问题拆解。

（2）生成树的基础概念

①图与树的本质区别

• 树：一对多的层次结构，有唯一根节点（无入边），无回路；
• 图：多对多的网状结构，无固定根节点，可存在回路。

②生成树的定义

在图论中，常常将树定义为一个无回路连通图。例如，图6-18中的两个图就是无回路的连通图。乍一看它似乎不是不是树，但只要选定某个顶点做根并以树根为起点对每条边定向，就可以将它们变为通常的树。

对连通图而言，若子图满足两个条件：① 包含原图所有n个顶点；② 仅用n-1条边连接所有顶点且无回路，则该子图为原图的生成树。

③图转生成树的两种方法

基于图的两种遍历方式，可生成对应类型的生成树，考研填空题常考：

• 深度优先搜索生成树：依赖栈结构实现遍历，遍历路径构成的树；

• 广度优先搜索生成树：依赖队列结构实现遍历，遍历路径构成的树。

④生成树的判定依据（考研简答题要点）

需同时满足：① 顶点数n与边数m满足m = n-1；② 无回路；③ 保持原图的连通性（所有顶点均被连接）。

（3）最小生成树的概念与意义

①前置概念：网

带权值的图称为网（区别于无权图），权值可表示路径长度、运输成本等实际意义。

②最小生成树的定义

在一般情况下，图中的每条边若给定了权，这时，我们所关心的不是生成树，而是生成树中边上权值之和。若生成树中每条边上权值之和达到最小，称为最小生成树。

③实际应用场景

如全国城市间修路 / 架线时，实现所有城市连通且总成本 / 总路程最低，核心是求解最小生成树。

④最小生成树的两种经典算法

考研核心考察，需区分两种算法的流程与适用场景：

• 普里姆（Prim）算法：本节重点；
• 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法：6.4.3 节内容（后续学习）。

6.4.2 普里姆（Prim）算法

（1）算法核心思想

在图中任取一个顶点K作为开始点，令U={k}，W=V-U，其中V为图中所有顶点集，然后找一个顶点在U中，另一个顶点在W中的边中最短的一条，找到后，将该边作为最小生成树的树边保存起来，并将该边顶点全部加入U集合中，并从W中删去这些顶点，然后重新调整U中顶点到W中顶点的距离, 使之保持最小，再重复此过程，直到W为空集止。

（2）三个核心集合的定义（必须熟记）

1. 顶点全集 V：图中所有顶点的集合，全程不变化；
2. 已选顶点集 U：初始时仅包含任选的一个起点顶点，后续逐步加入新顶点；
3. 未选顶点集 W：W = V - U，随 U 的扩充逐步缩小，最终为空集时算法终止。

（3）算法执行流程（考研核心，需掌握步骤逻辑）

1.初始化阶段

• 从 V 中任选一个起点顶点（如顶点 1）加入 U，此时U={1}，W={剩余所有顶点}；
• 用虚线连接 U 中顶点与 W 中所有顶点，标注对应权值（无直接边的顶点间权值记为无穷大）。

2.迭代选边与扩充集合阶段

• 第一步：寻找 U 与 W 之间权值最小的边，将其由虚线改为实线（作为最小生成树的边保留）；
• 第二步：将该最小边的 W 侧顶点并入 U，同时 W 中移除该顶点（U 扩充，W 缩小）；
• 第三步：修正权值（关键步骤）：因 U 中新增顶点，需重新计算 W 中各顶点到 U 的权值（取与 U 中所有顶点边权的最小值，保留最小权值的边，删除原较大权值的边）。

3.终止条件

当U = V（即 W 为空集）时，算法终止，此时所有实线边构成最小生成树。

（4）算法实操案例（以 6 个顶点的无向连通网为例，起点为顶点 1）

1. 初始化：U={1}，W={2,3,4,5,6}，1 与 2/3/4 的权值为 6/1/5，与 5/6 的权值为无穷大，均为虚线连接；

   

2. 第一次迭代

   • 最小权边为 1-3（权值 1），实线保留，U={1,3}，W={2,4,5,6}；
   • 修正权值：3 与 2/5/6 的权值为 5/5/4，对比原 1-2（6）、1-5（无穷）、1-6（无穷），更新 2 的权为 5、5 的权为 5、6 的权为 4，1-4 的权 5（3-4 权 7，保留原权）；

   

3. 第二次迭代

   • 最小权边为 3-6（权值 4），实线保留，U={1,3,6}，W={2,4,5}；
   • 修正权值：6 与 4 的权为 2（小于原 1-4 的 5），更新 4 的权为 2；6 与 2/5 的权为无穷 / 6，保留原权；

   

4. 第三次迭代

   • 最小权边为 6-4（权值 2），实线保留，U={1,3,6,4}，W={2,5}；

   • 修正权值：4 与 2/5 无直接边（权为无穷），保留原权（2 的权 5、5 的权 5）；

   

5. 第四次迭代

   • 最小权边为 3-2（权值 5），实线保留，U={1,3,6,4,2}，W={5}；
   • 修正权值：2 与 5 的权为 3（小于原 3-5 的 5），更新 5 的权为 3；

   

6. 第五次迭代

   • 最小权边为 2-5（权值 3），实线保留，U={1,3,6,4,2,5}，W=∅，算法终止。

   

（5）算法规律与考研注意要点

①步骤数量规律

若图有n个顶点，除原图外需绘制n个阶段图（含 1 次初始化 +n-1次迭代），最终生成n-1条实线边（符合生成树边数要求）。

②考研答题技巧

若要求书写算法，可采用伪代码形式（无需严格 C/Java 语法），核心是体现 “集合划分 - 选最小边 - 扩充集合 - 修正权值” 的逻辑，即可获得高分。

③算法适用场景（扩展，衔接后续克鲁斯卡尔算法）

普里姆算法按顶点为单位处理，时间复杂度主要与顶点数相关，适合稠密图（顶点少、边多的图）；后续克鲁斯卡尔算法按边为单位处理，适合稀疏图（顶点多、边少的图）。

6.4.3 克鲁斯卡尔（kruskal）算法

（1）算法基本思想

• 克鲁斯卡尔算法的基本思想是：将图中所有边按权值递增顺序排列，依次选定取权值较小的边，但要求后面选取的边不能与前面选取的边构成回路，若构成回路，则放弃该条边，再去选后面权值较大的边，n个顶点的图中，选够n-1条边即可。

• 讲课通俗解释：“先把所有边按权值从小到大排好队，每次挑最小的边，只要这条边不跟之前选的边连成圈（回路）就留下，等凑够n-1条边就停 —— 因为每次都选最小的边，最后所有边的权值加起来肯定是最小的”。

例如，对图 中无向网，用克鲁斯卡尔算法求最小生成树的过程见图。

（2）核心步骤

“6 个顶点（1~6）无向网” 为例，边权关系（按讲课描述推导）：1-3（权最小为1）、4-6（次小为2）、2-5（权较小为3）、3-6（权为4）、1-4（权为5）、2-3（权为5）、3-5（权较小为5）、1-2（权为6）、5-6（权为6）、3-7（权为7），步骤如下：

步骤	操作内容	已选边数	是否构环	结果（保留 / 丢弃）
1	对所有边按权值递增排序：1-3 < 4-6 < 2-5 < 3-6 < ...	-	-	排序完成
2	选权最小的边 1-3	1	无环	保留
3	选次小边 4-6	2	无环	保留
4	选边 2-5	3	无环	保留
5	尝试选边 3-6	4	无环	丢弃
6	选边 1-4：与已选边 1-3、3-6 、4-1构成回路（1-3-6-4）	-	有环	保留
7	选边 2-3（或3-5，满足n-1=5条）	5	无环	保留
8	终止：已选 5 条边（6-1=5），构成最小生成树	5	-	算法结束

（3）关键注意点（课件结论 + 讲课强调）

• 适用场景：仅针对无向网（最小生成树的本质是 “连接所有顶点且无回路”，有向图不存在生成树概念），与 6.4.2 普里姆算法一致。

• 与普里姆算法的核心区别：

  对比维度	克鲁斯卡尔算法	普里姆算法
  出发角度	从 “边” 出发（按权选边）	从 “顶点” 出发（扩充顶点集）
  适用图类型	稀疏图更优（边少，排序效率高）	稠密图更优（顶点少，更新快）
  核心逻辑	避环（选边不构环）	扩点（逐步加顶点，更短距离）

• 回路判断方法（课件未详述，补充扩展）：

  实际实现中需用并查集（DSU，Disjoint Set Union） ：

  1. 初始化每个顶点为独立集合（根节点为自身）；
  2. 选边(u,v)时，查找u和v的根节点：
     • 若根节点相同：u和v已在同一集合，选边必构环，丢弃；
     • 若根节点不同：合并两个集合，保留边(u,v)。

（4）实例结果（讲课案例总结）

• 顶点数n=6，最终选取 5 条边：1-3、4-6、2-5、3-6、2-3或者3-5；
• 所有保留边的权值之和最小，且无回路，构成 “克鲁斯卡尔最小生成树”。

6.4.4.单源点最短路径

（1）最短路径

　　交通网络中常常提出这样的问题：从甲地到乙地之间是否有公路连通?在有多条通路的情况下，哪一条路最短? 交通网络可用带权图来表示。顶点表示城市名称，边表示两个城市有路连通，边上权值可表示两城市之间的距离、交通费或途中所花费的时间等。求两个顶点之间的最短路径，不是指路径上边数之和最少，而是指路径上各边的权值之和最小。
　　另外，若两个顶点之间没有边，则认为两个顶点无通路，但有可能有间接通路(从其它顶点达到)。路径上的开始顶点(出发点)称为源点，路径上的最后一个顶点称为终点，并假定讨论的权值不能为负数。

（2）基础概念与算法思想

①单源点最短路径定义：

给定一个出发点(单源点)和一个有向网G=(V，E)，求出源点到其它各顶点之间的最短路径。
通俗比喻：“把源点当成北京，其他顶点当成各个城市，求从北京到每个城市的‘总花费最少’的路线（花费对应权值，可能是距离、时间、钱），哪怕中转几次，只要总花费比直达少就选中转路线”。

　　那么怎样求出单源点的最短路径呢?我们可以将源点到终点的所有路径都列出来,然后在里面选最短的一条即可。但是这样做,用手工方式可以,当路径特别多时,显得特别麻烦,并且没有什么规律,不能用计算机算法实现。
　　迪杰斯特拉(Dijkstra)在做了大量观察后,首先提出了按路长度递增序产生各顶点的最短路径算法,我们称之为迪杰斯特拉算法。

②算法思想：

　　算法的基本思想是:设置并逐步扩充一个集合S，存放已求出其最短路径的顶点，则尚未确定最短路径的顶点集合是V-S，其中V为网中所有顶点集合。按最短路径长度递增的顺序逐个以V-S中的顶点加到S中，直到S中包含全部顶点，而V-S为空。

分集合：S（已确定最短路径的顶点）、W=V-S（未确定的顶点）；
初始态：S仅含源点，W含其他所有顶点，记录源点到各顶点的初始距离（直达边为权值，无直达边为∞（无穷大））；
迭代过程：每次从W中选 “源点到该顶点距离最小” 的顶点，加入S；然后通过该新顶点 “中转”，修正W中其他顶点的距离（若中转距离比原距离短，则更新）；
终止：S包含所有顶点（W为空），此时记录的距离即为源点到各顶点的最短路径长度。

具体做法是：设源点为V_l,则S中只包含顶点V_l，令W=V-S，则W中包含除Vl外图中所有顶点，V_l对应的距离值为0，W中顶点对应的距离值是这样规定的：若图中有弧<V_l,V_j>则V_j顶点的距离为此弧权值，否则为∞(一个很大的数)，然后每次从W中的顶点中选一个其距离值为最小的顶点V_m加入到S中，每往S中加入一个顶点V_m，就要对W中的各个顶点的距离值进行一次修改。若加进V_m做中间顶点，使<V_l,V_m>+<V_m,V_j>的值小于<V_l,V_j>值，则用<V_l,V_m>+<V_m,V_j>代替原来V_j的距离，修改后再在W中选距离值最小的顶点加入到S中，如此进行下去，直到S中包含了图中所有顶点为止

（2）核心步骤（课件流程 + 讲课详细实例）

讲课实例：有向网含 5 个顶点（1~5），源点为 1，边权关系（按讲课描述整理）：

• 直达边：1→2（权 3）、1→5（权 30）；1→3（无，∞）、1→4（无，∞）；
• 中转边：2→3（权 25）、2→4（权 8）、4→3（权 4）、4→5（权 12）、3→5（权 10）。

步骤 1：初始化

• 集合：S={1}（源点），W={2,3,4,5}；

• 距离数组（dist[顶点]，表示源点 1 到该顶点的距离）：

  dist[1]=0（源点到自身），dist[2]=3，dist[3]=∞，dist[4]=∞，dist[5]=30。

步骤 2：第一次选顶点 + 修正距离

• 选W中dist最小的顶点：2（dist=3），加入S→S={1,2}；
• 修正W（3,4,5）的距离（通过顶点 2 中转）：
  • dist[3]：原∞ → 1→2→3（3+25=28），更新为 28；
  • dist[4]：原∞ → 1→2→4（3+8=11），更新为 11；
  • dist[5]：1→2→5（无此边，∞），比原 30 大，不更新；
• 此时dist：[0,3,28,11,30]（索引 1~5）。

步骤 3：第二次选顶点 + 修正距离

• 选W中dist最小的顶点：4（dist=11），加入S→S={1,2,4}；
• 修正W（3,5）的距离（通过顶点 4 中转）：
  • dist[3]：原 28 → 1→2→4→3（3+8+4=15），更新为 15；
  • dist[5]：原 30 → 1→2→4→5（3+8+12=23），更新为 23；
• 此时dist：[0,3,15,11,23]。

步骤 4：第三次选顶点 + 修正距离

• 选W中dist最小的顶点：3（dist=15），加入S→S={1,2,4,3}；
• 修正W（5）的距离（通过顶点 3 中转）：
  • dist[5]：原 23 → 1→2→4→3→5（3+8+4+10=25），比 23 大，不更新；
• 此时dist：[0,3,15,11,23]。

步骤 5：第四次选顶点 + 终止

• 选W中仅剩的顶点：5（dist=23），加入S→S={1,2,4,3,5}（包含所有顶点）；

• 终止，最终最短距离：

  1→2（3）、1→4（11）、1→3（15）、1→5（23）。

（3）关键注意点（课件结论 + 讲课强调）

• 适用场景：仅针对有向网，且边权必须为非负数（若含负权边，会导致已加入S的顶点距离被后续负权路径更新，破坏算法逻辑，后续需学贝尔曼 - 福特算法解决）。

• 与最小生成树的核心区别（讲课重点）：

  对比维度	单源点最短路径（迪杰斯特拉）	最小生成树（克鲁斯卡尔 / 普里姆）
  图类型	有向网	无向网
  核心目标	源点到每个顶点的 “路径权和最小”	连接所有顶点的 “边权总和最小”
  路径特性	有方向（如 1→2 存在，2→1 可能不存在）	无方向（边是双向的）
  结果形式	距离数组（源点到各顶点的最短距离）	n-1条边（构成树）

• 终止条件：S包含所有顶点（W为空），此时dist数组的每个值就是源点到对应顶点的最短路径长度。

（4）扩展说明（课件未详述，补充实用内容）

• 松弛操作（Relaxation）：算法中 “修正距离” 的本质的是松弛操作 —— 对边(u,v)，若dist[v] > dist[u] + weight(u,v)，则更新dist[v] = dist[u] + weight(u,v)，即 “通过u中转比直达v更近，就更新v的距离”。

• 算法优化（实际实现）：

  手动计算时可直接选W中最小dist顶点，但代码实现中用优先队列（小根堆）

  优化该步骤，时间复杂度从O(n²)（稠密图）降至O(m log n)（m为边数，稀疏图更优）。

• 无法处理的场景：

  若有向网含负权边或负权回路（如边权为 - 2），迪杰斯特拉算法失效，需改用贝尔曼 - 福特算法（检测负权回路）或弗洛伊德算法（求所有顶点对的最短路径，可处理负权边但不能处理负权回路）。

（5）所有顶点对之间的最短路径

顶点对之间的最短路径概念

所有顶点对之间的最短路径是指：对于给定的有向网G=(V,E),要对G中任意一对顶点有序对V、W(V≠W),找出V到W的最短距离和W到V的最短距离。
解决此问题的一个有效方法是:轮流以每一个顶点为源点,重复执行迪杰斯特拉算法n次,即可求得每一对顶点之间的最短路径,总的时间复杂度为O(n3)。

6.4.5拓扑排序（Topological Sort）

（1）拓扑排序的核心概念

• 定义：对 “顶点表示活动、边表示活动优先顺序” 的有向无环图（DAG），按 “先完成前驱活动，再开始后继活动” 的规则，输出所有顶点的有序序列，称为拓扑排序。

• 生活 / 工程关联：

  • 课程安排：先修课（前驱活动）完成后，才能学后续课（后继活动），如 “数据结构” 需先学 “程序设计基础（C2）” 和 “离散数学（C3）”。

  • 工程调度：大工程拆分为子活动（如 “采购材料”“搭建框架”），需按先后顺序执行，才能省时高效。

拓扑排序正是解决 “有优先关系的活动排序” 的核心算法。

（2）核心基础：AOV 网（Activity On Vertex Network）

• AOV 网定义：Activity On Vertex Network（顶点表示活动的网），是拓扑排序的核心数据结构，满足两个特性：
  • 边的含义：若存在有向边 ` 活动 I 是活动 J 的直接前驱，J 是 I 的直接后继（I 必须先完成，J 才能开始）。
  • 无回路 + 反自反性：不存在 “活动 I 是自身前驱 / 后继” 的情况，也无有向环（否则会出现 “先做 A 才能做 B，先做 B 才能做 A” 的矛盾，无法排序）。

（3）拓扑排序的定义与步骤

• 定义：对 AOV 网的顶点进行线性排序，使得对任意有向边 <i,j>，活动 i 在排序序列中均位于活动 j 之前（满足优先关系）。

• 核心步骤（课件三步法，结合 “课程安排” 实例推演）：

步骤	具体操作	关键说明
1	在 AOV 网中找到入度为 0的顶点（无前驱活动，可直接开始），将其输出	入度：指向该顶点的边的数量（前驱活动数量），入度为 0 表示无前置约束
2	从 AOV 网中删除该顶点，以及所有从该顶点出发的有向边（解除对后继活动的约束）	删除边后，需更新后继顶点的入度（如删除1,C8>，C8 的入度减 1）
3	重复步骤 1-2，直到两种情况之一： 所有顶点均输出（拓扑排序成功，AOV 网无环）；② 无入度为 0 的顶点但仍有未输出顶点（排序失败，AOV 网有环）	核心功能：既输出活动顺序，又能判断 AOV 网是否有环（工程 / 课程安排中需避免环）

（4）实例解析（计算机专业课程安排）

• 已知条件：部分课程及先修关系（如 C1 = 高等数学，无先修课；C4 = 数据结构，先修 C2、C3；C6 = 编译原理，先修 C5、C7），构建 AOV 网后执行拓扑排序：
  • 初始入度为 0 的顶点：C1（高数）、C2（程序设计基础）→ 输出 C1；
  • 删除 C1 及边 ``→ C3 入度 = 1（原 2），C8 入度 = 0 → 此时入度为 0 的顶点：C2、C8 → 输出 C2、C8；
  • 删除 C2（边2,C3>）、C8（无出边）→ C3 入度 = 0，C9 入度 = 0 → 输出 C3、C9；
  • 删除 C3（边3,C4>）、C9（无出边）→ C4 入度 = 0，C5 入度 = 0 → 输出 C4、C5；
  • 删除 C4（边4,C7>）、C5（边5,C7>）→ C7 入度 = 0 → 输出 C7；
  • 删除 C7（边7,C6>）→ C6 入度 = 0 → 输出 C6；
  • 结果：所有顶点输出（C1→C2→C8→C3→C9→C4→C5→C7→C6），排序成功，无环。

（5）扩展应用与注意事项

• 应用场景：课程表生成、项目进度规划（如建筑工程 “打地基→砌墙→封顶”）、依赖包安装（如软件安装时先装依赖组件）。
• 注意事项：拓扑排序结果不唯一（如步骤 2 中可先输出 C8 再输出 C2），只要满足前驱 - 后继关系即可；若 AOV 网有环，需先破除环（如修改课程先修关系）。

6.4.6 关键路径

（1）关键路径的核心问题

• 解决两个核心需求（基于带权有向图）：
  • 工程最短完成时间：从工程开始到结束，最少需要多少时间（如建筑工程最少 60 天）；
  • 确定关键活动：若某活动延误，会导致整个工程延误，该活动称为 “关键活动”；关键活动连成的路径，称为 “关键路径”（需重点监控）。

（2）关键路径的基础 ——AOE 网

• AOE 网定义：Activity On Edge Network（边表示活动、顶点表示事件的网），与 AOV 网的核心区别如下：

对比维度	AOV 网（拓扑排序用）	AOE 网（关键路径用）
顶点含义	活动（如 “学数据结构”）	事件（如 “数据结构学完”“工程开工”）
边的含义	活动优先顺序（无权重）	活动 + 活动持续时间（有权重，如 “打地基需 10 天”）
核心特性	无环、反自反	有一个原点（起始事件，如 V1 = 工程开工）、一个汇点（结束事件，如 V9 = 工程竣工）

• 事件的意义：顶点（事件）发生，意味着所有指向该顶点的活动（边）均已完成，且从该顶点出发的活动（边）可开始。例如：AOE 网中顶点 V5 发生，说明 “活动 A7（V3→V5）”“活动 A8（V4→V5）” 已完成，“活动 A9（V5→V7）” 可开始。

（3）关键路径的核心变量（5 个）

需先计算 4 个基础变量，再推导 1 个关键变量：

变量符号	含义	计算规则
Ve(i)	事件 i 的最早发生时间	从原点到顶点 i 的最长路径长度（因需等所有前驱活动完成，取最长时间）
Vl(i)	事件 i 的最晚发生时间	从顶点 i 到汇点的最长路径长度，再用 “汇点的 Ve值 - 该长度”（不延误总工期的前提下，事件 i 最晚可何时发生）
e(k)	活动 k 的最早开始时间	活动 k 对应边<i,j>，e(k)=Ve(i)（事件 i 最早发生时，活动 k 可开始）
l(k)	活动 k 的最晚开始时间	活动 k 对应边 `，l(k)=Vl(j)−活动k的权重（事件 j 最晚发生前，活动 k 需完成，故用 Vl(j) 减活动时长）
l(k)−e(k)	活动 k 的余量时间	若值为 0：活动 k 是关键活动（无余量，延误即影响工期）；若值 > 0：非关键活动（有缓冲时间，可适当延误）

（4）关键路径计算步骤（实例解析）

以讲课中 “11 项活动、9 个事件” 的 AOE 网为例（原点 V₁，汇点 V₉，边权重为活动时长，如 A₁=V₁→V₂，时长 6 天），计算步骤如下：

步骤 1：计算所有事件的最早发生时间V_e(i)（从原点 V₁开始，正向推导）

• 原点规则：V_e(1)=0（起始事件最早 0 时刻发生）；

• 正向推导：对每个顶点 j，V_e(j)=max{V_e(i)+边的权重}（取所有前驱路径的最长值）：

  • V_e(2)=V_e(1)+A1权重=0+6=6；

  • V_e(3)=V_e(1)+A2权重=0+4=4；

  • V_e(4)=V_e(2)+A3权重=6+5=11；

  • V_e(5)=max{V_e(2)+A4=6+3=9,V_e(3)+A*5=4+5=9}=9；

  • 以此类推，直到计算出汇点V**E(9)=20（即工程最短完成时间为 20 天）。

步骤 2：计算所有事件的最晚发生时间V_l(i)（从汇点 V9 开始，反向推导）

• 汇点规则：V_l(9)=V_e(9)=20（结束事件最晚发生时间 = 最早发生时间，否则工期延误）；

• 反向推导：对每个顶点 i，V_l(i)=min{V_l(j)−边}（取所有后继路径的最小值，不影响总工期）：

• V_l(8)=V_l(9)−A11权重=20−2=18；

• V_l(7)=V_l(8)−A10权重=18−4=14；

• V_l(6)=min{V_l(7)−A8=14−3=11，V_l(8)−A9=18−5=13}=11；

• 以此类推，直到计算出所有顶点的V_l(i)。

步骤 3：计算所有活动的e(k)、l(k)及余量时间

• 对每个活动 k（对应边 `：

  • e(k)=V_e(i)，l(k)=V_l(j)−边<i,j>权重；

  • 举例：活动 A1（V₁→V₂，权重 6）：e(A1)=V_l(1)=0，l(A1)=V_l(2)−6=6−6=0，余量 = 0→关键活动；

  • 活动 A5（V3→V5，权重 5）：e(A5)=V_e(3)=4，l(A5)=V_l(5)−5=9−5=4，余量 = 0→关键活动；

  • 活动 A6（V3→V6，权重 2）：e(A6)=V_e(3)=4，l(A6)=V_l(6)−2=11−2=9，余量 = 5→非关键活动（可延误 5 天）。

步骤 4：确定关键路径

• 关键活动（余量 = 0）连成的路径，即关键路径。本例中关键路径为：V1→V2→V5→V7→V8→V9（对应活动 A1→A4→A9→A10→A11），该路径总时长 = 20 天（与工程最短完成时间一致）。

（5）扩展应用与优化思路​

• 应用场景：项目管理（如软件开发 “需求分析→编码→测试”）、生产调度（如汽车生产 “零件加工→组装→质检”）；
• 优化思路：缩短关键路径的总时长，可通过压缩关键活动的时长（如 “打地基从 10 天压缩到 8 天”）；非关键活动的余量时间可用于资源调配（如将非关键活动的工人调去支援关键活动）。
• 注意事项：若关键路径有多条（如工程有 2 条关键路径，总时长均 20 天），需同时监控所有关键路径，任一关键路径延误都会导致工期延误。

参考资料：教材《数据结构 C 语言 第 3 版》 数据结构考研指导（基础篇） 、数据结构考研指导（基础篇） 视频课程｜赵海英