第2章线性表

第2章线性表

2.1线性表的类型定义

1.数据结构课程体系定位：明确线性表的 “学科位置”

老师开篇先梳理课程整体框架，帮助学习者建立知识全局观，核心内容如下：

（1）课程四大板块划分

  • 板块 1：第一章《绪论》（基础铺垫，含数据结构基本术语、算法分析等）；
  • 板块 2（核心板块）：由第二章（线性表）、第三章（栈与队列）、第五章（树、二叉树）、第六章（图）构成，聚焦 “线性结构” 与 “非线性结构” 两大类逻辑结构；
  • 板块 3：第七章《查找》；
  • 板块 4：第八章《排序》（视频暂未展开）。

（2）核心板块（板块 2）的内部体系

  • 线性结构体系：由第二章（线性表）、第三章（栈与队列）组成。因线性结构类型繁多，采用 “列举法教学”—— 以 “最简单的线性表”“最常用的栈和队列” 三个典型类型，帮助掌握线性结构共性；
  • 非线性结构体系：由第五章（树、二叉树）、第六章（图）组成，是线性结构的 “多对一”“多对多” 延伸，需以线性结构为基础。

（3）线性表的核心定位与学习要点

  • 性质：线性结构中 “最简单” 的类型（栈与队列被定义为 “最常用”，二者不矛盾）；
  • 易错点：“线性表是线性结构” 表述正确，但 “线性结构就是线性表” 错误（线性表是线性结构的子集，非全部）；
  • 学习四要点：需掌握 “定义、描述、存储、操作（练习）”，其中 “操作” 以习题形式展开，“存储” 将在后续进阶内容中讲解。

2.线性结构的 “特点式定义”：兼具考点与判断依据

老师未直接给出线性结构的文字定义，而是通过 “四大特点” 反向界定，且明确这四大特点是 **“定义、特点、判断依据” 三位一体的考研高频考点 **：

线性结构可以是一个空集

（1） 线性结构的四大特点（非空有限集）

当线性结构为 “非空有限集” 时，需同时满足以下四个特点，且所有约束对象均为 “数据元素”（非数据项）：

  1. 开始节点唯一：有且仅有 1 个 “开始节点”，该节点只有 “后继”（后续数据元素），无 “前驱”（前面的数据元素）；
  2. 终端节点唯一：有且仅有 1 个 “终端节点”（结束节点），该节点只有 “前驱”，无 “后继”；
  3. 中间节点前驱唯一：除开始节点外，集合中每一个数据元素，有且仅有 1 个 “前驱”（即直接位于其前面的数据元素）；
  4. 中间节点后继唯一：除终端节点外，集合中每一个数据元素，有且仅有 1 个 “后继”（即直接位于其后面的数据元素）。

综上，线性结构的定义逻辑为：“可空集，若为非空有限集则满足‘两节点唯一、两前驱后继唯一’”，且始终以 “数据元素” 为基本约束单位，这是区分线性结构与非线性结构的核心依据。

（2）线性结构的可视化与逻辑本质

  • 可视化表达：常用序列a₁→a₂→a₃→…→aₙ表示，箭头方向体现 “前驱→后继” 关系；
  • 逻辑本质：通过 “开始节点唯一、终端节点唯一、中间节点前驱后继唯一”，明确线性结构的 “一对一” 核心特征，这也是判断某结构是否为线性结构的核心依据（如链表符合该特征，属于线性结构）。

3.线性表的定义：学术表述与通俗理解

老师从 “数量、结构、属性” 三个维度，明确线性表的科学定义，覆盖考研答题与理解需求：

（1）学术定义

  • 线性表是由n个数据元素构成的 “有限序列”，其中n ≥ 0：

    • n=0时：称为 “空表”；

    • n>0时：为非空表，元素需满足 “同类型、同结构”（均匀性）。

  • 线性表是一种最常用（最简单）的数据结构。含有n个数据元素的线性表是一个数据结构。

    • List = (D, R)

      其中D = {aᵢ|aᵢ ∈ ElemSet, i=1,2,…,n, n≥0}

      R =

特性：均匀性，有序性（线性序列关系）

  • 均匀性—— 所有数据元素需 “同类型、同结构”（如 “学生表” 中不可混入 “课程” 元素）。

（2）通俗表述（考研简答题适用）

  • 简化版：“线性表是最简单的线性结构”（最精准、常用）；
  • 扩展版：“线性表是由同类型、同结构数据元素构成的线性结构”（补充 “均匀性”，避免误解）。

（3）关键术语辨析

  • 数据元素：线性表的基本构成单位（如 “学生表” 中的 “单个学生”）；
  • 数据项：数据元素的组成部分（如 “学生” 的 “学号、姓名”）—— 线性表以 “数据元素” 为单位，而非 “数据项”。

4.线性表的描述：从 “数据 + 关系” 拆解逻辑结构

老师通过 “数据（data）” 与 “关系（relation）” 两部分，可视化线性表的逻辑结构，核心内容如下：

（1）构成要素：数据（data）

  • 基本单位：数据元素（非数据项）；
  • 核心属性：均匀性—— 所有数据元素需 “同类型、同结构”（如 “学生表” 中不可混入 “课程” 元素）。

（2） 构成要素：关系（relation，记为r）

  • 表现形式：以 “对偶（成对）” 形式存在，即r = {(a₁,a₂), (a₂,a₃), ..., (aₙ₋₁,aₙ)}；
  • 核心属性：有序性—— 若某元素为aᵢ（2 ≤ i ≤ n-1），其前驱固定为aᵢ₋₁，后继固定为aᵢ₊₁，元素位置不可随意互换。

（3）描述本质

线性表的逻辑结构可概括为 “均匀的数据元素 + 有序的对偶关系”，通过该描述可直观理解其 “一对一” 的线性逻辑。

5.线性表的六大基本操作：考研算法基础

老师明确线性表的 “六大基本操作” 是实现复杂功能的 “组件”，详细说明每个操作的功能、简称及应用场景：

操作序号 函数名 操作名称 核心功能 关键细节
1 InitList(&L) 初始化 构造一个空的线性表 操作起点，初始化后表长为 0
2 ListLength(L) 求长度 计算线性表中数据元素的个数 返回值为n（n≥0），是空表判断、插入 / 删除位置合法性校验的基础
3 GetElem(L,i,&e) 读取（取元素） 取出第i个位置的元素，赋值给变量e 属于 “读操作”，不修改表内容；需先判断i的合法性（1 ≤ i ≤ n）
4 LocateElem(L,e) 按值查找 给定值e，查找其在表中的位置（序号） 找到返回位置i，未找到返回 “特殊值”（如 0 或 - 1，需提前约定）；默认返回第一个匹配元素
5 ListInsert(&L,i,e) 插入 在第i个位置之前插入新元素e 插入后表长n = n+1；“在第i个位置之后插入” 可转化为 “在第i+1个位置之前插入”
6 ListDelete(&L,i,e) 删除 删除第i个位置的元素，并返回该元素的值 删除后表长n = n-1；需先判断i的合法性（1 ≤ i ≤ n），空表不可删除

考研应用提示

六大基本操作是 “组合型考题” 的基础，例如 “合并两个有序线性表”“删除表中所有值为e的元素”“表达式运算” 等复杂功能，均需通过组合这些基本操作实现，需熟练掌握操作逻辑与边界条件。

2.2线性表的顺序存储

1.复习铺垫：逻辑结构与存储结构的核心关系

本部分旨在衔接第一章知识，明确数据结构中 “逻辑结构” 与 “存储结构” 的关键区别与联系，为后续线性表存储结构的学习奠定基础。

（1）逻辑结构：问题的 “固有属性”（唯一确定）

  • 分类框架：逻辑结构分为线性结构和非线性结构两大类，进一步可细分为四小类：
    • 线性结构（一对一关系，如本次学习的线性表）；
    • 集合（无明确逻辑关系）；
    • 树（一对多关系，非线性）；
    • 图（多对多关系，非线性）。
  • 核心特性：对于任意一个具体问题，其逻辑结构是唯一确定的，不会因实现方式改变而变化。

（2）存储结构：问题的 “实现选择”（可灵活挑选）

  • 概念别名：存储结构又称物理结构，是数据在计算机内存中的实际存储方式。

  • 分类与学习安排：共分为四种，但因学习难度和知识逻辑，分阶段讲解：

    存储结构类型 学习阶段 核心说明
    顺序存储 前 6 章（本章重点） 基础且常用，优先学习
    链式存储 前 6 章（后续讲解） 补充顺序存储的不足
    索引存储 第 7-8 章（查找 / 排序模块） 难度较高，结合查找需求学习
    散列（哈希）存储 第 7-8 章（查找 / 排序模块） 依赖哈希函数，需结合查找场景

  • 选择依据：存储结构的选择由用户需求和效率目标决定，例如：

    • 若追求 “低成本”，可接受效率稍低的存储方式；
    • 若追求 “高速度”，可选择占用更多资源但效率更高的方式；
    • 不同选择会直接影响算法的最终效率（考研高频考点：需根据问题场景选择 “高效存储结构”）。

2.本章核心：线性表的顺序存储（顺序表）

线性表的逻辑结构是 “一对一” 的线性关系，本节聚焦其第一种存储实现 —— 顺序存储，即 “顺序表”。

（1）顺序表的定义与核心特征

  • 正式名称：线性表的顺序存储结构，简称顺序表，考试中也常简称为 “顺表”（需注意术语准确性，避免混淆）。
  • 核心定义：用物理位置的相邻来表示线性表中元素的逻辑关系，通俗表述为 “逻辑上相邻的元素，物理上也一定相邻”。
    • 例：若线性表中元素 aᵢ的前驱是 aᵢ₋₁、后继是 aᵢ₊₁（逻辑相邻），则在内存中，aᵢ₋₁、aᵢ、aᵢ₊₁的存储地址必须连续（物理相邻）。

（2）底层支撑：内存的关键特性（理解顺序表的基础）

顺序表的实现依赖内存的两个核心特点，需结合计算机基础知识点理解：

  • 特点 1：内存是 “一维线性” 的：内存空间呈连续的线性排列，无分支或跳跃，为 “物理位置相邻” 提供硬件基础。
  • 特点 2：按 “地址寻址”，区分 “内容值” 与 “地址值”：
    • 内存可类比为 “带门牌号的房子”：“房子” 是存储单元，“门牌号” 是地址值（用于定位存储单元），“房子里的东西” 是内容值（实际存储的数据）；
    • 计算机通过 “总线” 区分两种值：地址值通过地址总线（Address Bus） 传输，内容值通过数据总线（Data Bus） 传输，确保二者不混淆。

（3）顺序表示例：直观理解存储逻辑

以 “线性表（10, 12, 13, 14, 15）” 为例（修正原文口误，确保逻辑连贯），说明顺序表的存储过程：

  • 逻辑关系：10 是首元素（只有后继），15 是尾元素（只有前驱），元素间为一对一的线性关系；
  • 物理存储：在内存中，10、12、13、14、15 的存储地址连续，且顺序与逻辑顺序完全一致（10 的地址 < 12 的地址 < 13 的地址 < ... < 15 的地址）；
  • 核心结论：顺序表的物理存储结构与线性表的逻辑结构 “完全对齐”，无需额外信息即可通过物理位置判断元素的逻辑关系。

（4）顺序表的优缺点分析（结合实例与本质原因）

（a）优点：查找（查询）效率高
  • 具体表现：可直接通过元素的逻辑位置定位其物理地址，无需遍历或移动元素。
    • 生活类比：电影院找座位（如 17 排），无需从第 1 排数起，若看到 15 排，可直接推断 17 排在其后，快速定位；
    • 本质原因：元素物理地址连续，可通过 “首地址 + 元素索引 × 元素大小” 直接计算目标元素地址（随机访问特性）。
（b）缺点：插入、删除效率低（需大量移动元素）
  • 问题根源：顺序表要求元素 “物理位置必须连续”，插入 / 删除元素会破坏连续性，需通过移动元素恢复连续，导致操作成本高。
  • 实例说明：
    • 插入操作（如在 30 和 40 之间插入 35）：需先将 40、50（假设后续元素）向后移动 1 位，腾出 30 后的位置，再存入 35；
    • 删除操作（如删除 20）：计算机不会 “空出” 20 的位置，而是将 20 之后的所有元素向前移动 1 位，用后续元素覆盖 20，间接实现 “删除”。
  • 效率结论：插入 / 删除操作的时间复杂度随元素数量增加而升高（最坏情况下需移动全部元素），不适用于频繁增删的场景。

3.链表的必要性（核心矛盾：解决顺序表的效率痛点）

由于顺序表在 “插入、删除” 操作上的效率缺陷，为满足 “频繁增删仍需高效” 的需求，后续将学习线性表的第二种存储结构 ——链式存储，其核心思路是 “用指针（或引用）替代物理位置，实现逻辑关系的灵活表示”，从根本上解决元素移动的问题。

现在围绕线性表的存储结构优化展开，核心是解决顺序表插入 / 删除效率低的问题：

  • 顺序表的缺陷：逻辑相邻→物理必须相邻（连续内存），插入 / 删除时需 “搬动大量元素”，时间复杂度为 O (n)，效率低。
  • 核心思路：若能不搬动元素，仅通过调整 “元素间的关联关系” 实现插入 / 删除，即可将时间复杂度降至 O (1)（常数级）。
  • 链表的定位：正是为满足此需求而生，是数据结构考研的重中之重（几乎所有考题都会涉及链式存储）。

4.链表的基本概念与核心特点

（1）定义

线性表的链式存储简称 “链式表”，俗称 “链表”，是通过节点 + 指针串联元素的存储结构。

（2）核心特点（与顺序表的本质区别）

对比维度 顺序表 链表
存储单元 必须连续（一维连续内存） 可连续、可分散（任意存储单元）
元素关联方式 物理位置相邻（隐含关联） 指针指向（显式关联）
额外空间消耗 无（仅存元素） 有（需存指针）

（3）节点的构成（链表的基本单元）

链表的每个元素需存储两部分信息，共同构成 “节点”：

  • 数据域（data）：存储元素的实际值（如 10、20、30）。
  • 指针域（如 next）：存储 “后继节点的地址”（单链表 1 个指针，双向链表 2 个指针）。

示例：存储 10、20、30、40 的链表节点结构

（内存地址可分散，如 10 存 10001 号、20 存 10005 号、30 存 10003 号、40 存 10006 号）：

（注：NULL 为 “空指针”，表示链表末尾，大写）

5.链表的分类及详细解析（考研核心）

老师明确：考研需重点掌握3 类链表（无头节点单链表仅需了解概念），分别是 “带头节点的单向链表”“循环链表”“双向链表”。

（1）第一类：单向链表（单链表）

①分类：无头节点 vs 带头节点
类型 结构特点 考研要求
无头节点单链表 头指针直接指向第一个数据节点 仅掌握概念
带头节点单链表 头指针→头节点（数据域空）→第一个数据节点 重点掌握（结构、操作、应用）
② 带头节点单链表的核心结构
  • 头节点：数据域为空（不存有效元素），指针域指向 “第一个数据节点”；
  • 头指针（first）：永远指向头节点（固定入口）；
  • 尾节点：最后一个数据节点，指针域指向 NULL；
  • 空表判断：头节点的指针域为 NULL（first->next == NULL），且头指针、尾指针均指向头节点。
③带头节点单链表的核心操作（考研高频）

核心原则：不搬动元素，仅修改指针，时间复杂度 O (1)。

（a）插入操作：以 “在 30（前驱节点）和 40（后继节点）间插入 35” 为例

步骤（先连后断，避免指针丢失）：

  1. 申请内存空间，存储 35（如地址 10008）；
  2. 新节点的指针域→40 的地址（先连：确保后继节点不丢失）；
  3. 30 的指针域→新节点的地址（后断：修改前驱节点的关联）。

最终链表：10→20→30→35→40→NULL。

（b）删除操作：以 “删除 30” 为例

步骤（迈过 + 释放，避免内存泄漏）：

  1. 20 的指针域→40 的地址（迈过：跳过待删节点 30）；
  2. 释放 30 所在节点的内存空间（关键：避免内存泄漏，程序长期运行会变慢）。

最终链表：10→20→40→NULL。

（2）第二类：循环链表

①核心结构（基于单链表优化）
  • 本质：首尾相连—— 尾节点的指针域不再指向 NULL，而是指向 “头节点”（带头节点时）或 “第一个数据节点”；
  • 空表判断（带头节点）：头节点的指针域指向自身（first->next == first）；
  • 头指针：可省略，仅需尾指针（尾指针 ->next 即头节点，访问更高效）。
②核心优点
  • 保留单链表 “插入 / 删除高效” 的优点；
  • 优化访问逻辑：从任意节点出发，沿指针可遍历所有节点（无需从头指针开始，解决单链表 “断链后无法访问前序节点” 的问题）。

（3）第三类：双向链表

①核心结构（基于单链表优化）
  • 节点构成：数据域 + 2 个指针域（前驱指针 prior：存前序节点地址；后继指针 next：存后序节点地址）；
  • 带头节点时：头节点的 prior 指向 NULL，尾节点的 next 指向 NULL；
  • 双向循环链表（进阶）：尾节点 next→头节点，头节点 prior→尾节点，彻底无 NULL。
②核心优点
  • 保留 “插入 / 删除高效” 的优点；
  • 优化访问逻辑：双向可访问—— 找前驱节点无需遍历（直接通过 prior 指针，时间复杂度 O (1)），解决单链表 “找前驱需从头遍历” 的痛点。
③核心操作（以 “在 ai-1 和 ai 间插入新节点” 为例）

插入步骤（需修改 4 个指针，确保双向关联正确）：

  1. 新节点.prior → aᵢ-₁ 的地址；
  2. 新节点.next → ai 的地址；
  3. aᵢ-₁.next → 新节点的地址；
  4. aᵢ.prior → 新节点的地址。

删除步骤（需修改 2 个指针 + 释放空间）：

  1. aᵢ-₁.next → aᵢ.next 的地址；
  2. aᵢ.next.prior → aᵢ.prior 的地址；
  3. 释放 aᵢ节点的内存空间。

6.头节点的核心作用（考研高频考点）

头节点虽 “浪费 1 个节点空间”，但能大幅简化编程逻辑，核心作用有 2 点：

  1. 统一插入 / 删除操作：

    无需单独处理 “插在表头”、“删表头节点” 的特殊情况 —— 所有插入都可视为 “在某个节点后插入”（插表头 = 插在头节点后），所有删除都可视为 “删除某个节点的后序节点”，编程逻辑统一。

  2. 简化空表判断：

    无表头时，空表需判断 “头指针是否为 NULL”、“删除后是否为空”，需嵌套 if；

    有表头时，空表仅需判断 “头节点的 next 是否为 NULL”，避免复杂嵌套，逻辑更简单。

7.各类存储结构优缺点对比（考研综合题基础）

存储结构 优点 缺点 适用场景
顺序表 随机查找高效（O (1)）；无额外空间消耗 插入 / 删除低效（O (n)，需搬元素）；需连续内存 查找频繁、插入删除少（如学生成绩查询）
带头节点单链表 插入 / 删除高效（O (1)）；内存可分散 查找低效（O (n)，需从头遍历）；需额外存 1 个指针 插入删除频繁、查找少（如链表式队列）
循环链表 插入 / 删除高效；任意节点可遍历所有节点 查找仍需遍历（O (n)）；需额外存 1 个指针 需循环访问所有元素（如约瑟夫环问题）
双向链表 插入 / 删除高效；双向访问（找前驱 O (1)） 空间消耗高（需存 2 个指针）；操作步骤多 需频繁找前驱节点（如双向链表式栈）

8.考研重点总结

  1. 必须掌握的 3 类链表：带头节点的单链表、循环链表、双向链表（结构、插入 / 删除操作、空表判断）；
  2. 核心考点：头节点的作用、链表插入 “先连后断” 原则、删除 “释放空间防泄漏”、双向链表指针修改逻辑；
  3. 本质思想：链表是 “用空间换时间”—— 通过额外存储指针（空间消耗），换取插入 / 删除的时间效率提升。

参考资料：教材《数据结构 C 语言 第 3 版》 数据结构考研指导（基础篇） 、数据结构考研指导（基础篇） 视频课程｜赵海英

posted @ 2025-12-05 13:56  CodeMagicianT  阅读(3)  评论(0)    收藏  举报