笛卡尔树

笛卡尔树

1.权值 \(\text{pos}\) 满足二叉搜索树的性质，通常用序列的下标作为权值；
2.权值 \(\text{val}\) 满足二叉堆的性质。

实现方法

我们考虑将元素按照键值 \(k\) 排序。然后一个一个插入到当前的笛卡尔树中。那么每次我们插入的元素必然在这个树的右链（右链：即从根结点一直往右子树走，经过的结点形成的链）的末端。于是我们执行这样一个过程，从下往上比较右链结点与当前结点 \(u\) 的 \(w\)，如果找到了一个右链上的结点 \(x\) 满足 \(x_w<u_w\)，就把 \(u\) 接到 \(x\) 的右儿子上，而 \(x\) 原本的右子树就变成 \(u\) 的左子树。

具体如图所示，图中红框部分就是我们始终维护的右链：

显然每个数最多进出右链一次（或者说每个点在右链中存在的是一段连续的时间）。这个过程我们可以用栈维护，栈中维护当前笛卡尔树的右链上的结点。一个点不在右链上了就把它弹掉。这样每个点最多进出一次，复杂度 \(O(n)\)。

典型例题

P5854 笛卡尔树

笛卡尔树模板题。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e7+5;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
struct node
{
    int l,r,pos,val;
}e[MAXN];
int n;
int s[MAXN],top;
int main()
{
    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        e[i].val=read();
        e[i].l=e[i].r=0;
        e[i].pos=i;
    }
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        int k=top;
        while(k>0&&e[s[k]].val>e[i].val)k--;
        if(k)e[s[k]].r=i;
        if(k<top)e[i].l=s[k+1];
        s[++k]=i;
        top=k;
    }
    long long ans1=0,ans2=0;
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans1^=(long long)i*(e[i].l+1);
        ans2^=(long long)i*(e[i].r+1);
    }
    printf("%lld %lld",ans1,ans2);
    return 0;
}