3d数学基础【向量篇：向量运算】

二、向量运算

1.线性代数与几何

符号约定:

标量，用斜体的小写罗马或希腊字幕表示，如 \(a,b,x,y,z,θ,λ\)
向量，用小写黑粗体字母表示，如 \(\mathbb{a,b,u,v,q,r}\)
矩阵，用大写黑粗体字母表示，如 $A,B,M,R $

2.零向量

n维向量集合的加性单元就是n维“零向量”。他的每一维度都是零,是唯一没有方向的向量，如下所示：

\[\mathbb{a}=\begin{bmatrix} 0,&0,&0 \end{bmatrix},a_1 = 0,a_2=0,a_3=0\\ \]

3.负向量

得到任意维度向量的负向a量，只需要简单地将向量地每个分量都变负即可。数学表达式为：

\[{ \mathbb{-}\begin{bmatrix} a_1,&a_2,&a_3&...&a_{n-1},&a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1,&-a_2,&-a_3&...&-a_{n-1},&-a_n \end{bmatrix} } \]

示例：

\[{ \mathbb{-}\begin{bmatrix} 2,&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2,&-2 \end{bmatrix}\\ \mathbb{-}\begin{bmatrix} 4,&-5,&8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4,&5,&-8 \end{bmatrix} } \]

几何意义，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量（注意：向量在图中的位置是无关紧要的，只有大小和方向才是最重要的）：

4.向量的大小

向量的大小被称为向量的长度和模。

运算法则：

\[\begin{Vmatrix} \mathbb{v}\end{Vmatrix} = \sqrt{v_1^2+v_2^2+ ...+v_{n-1}^2+v_n^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} \]

示例：

\[\begin{Vmatrix}[2&-1&3]\end{Vmatrix} { =\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}\\ =\sqrt{4+1+9}\\ =\sqrt{14} } \]

几何意义：如下图所示

上图以勾股定理为例，计算公式如下：

\[\begin{Vmatrix} \mathbb{c}\end{Vmatrix}^2 = \begin{vmatrix} \mathbb{a}\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \mathbb{b}\end{vmatrix}^2 \]

5.标量与向量的乘法

标量和向量不能相加，但可以相乘。结果将得到一个向量，与原来的向量平行，长度不同或方向相反。

运算公式：

• 乘法运算公式 :

\[{ k\begin{bmatrix} a_1,&a_2,&a_3&...&a_{n-1},&a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_1,&ka_2,&ka_3&...&ka_{n-1},&ka_n \end{bmatrix} } \]

• 除法运算公式 :

\[{ \frac{1}{k}\begin{bmatrix} a_1,&a_2,&a_3&...&a_n-1,&a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{a_1}{k},&\frac{a_2}{k},&\frac{a_3}{k}&...&\frac{a_{n-1}}{k},&\frac{a_n}{k} \end{bmatrix} } \]

示例：

\[{ 2\begin{bmatrix} 1&5&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&10&14 \end{bmatrix} \\ -2\begin{bmatrix} 1&5&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2&-10&-14 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 2&4&8 \end{bmatrix}/2 = \begin{bmatrix} 1&2&4 \end{bmatrix} } \]

几何意义：

6.标准化向量

只有方向没有大小的向量称为单位向量，又被称为标准化向量和法线。单位向量是大小为1的向量。

运算公式：

\[{ V_{norm} = \frac{\mathbb{v}}{\begin{Vmatrix} \mathbb{v}\end{Vmatrix}},\mathbb{v}\neq 0 } \]

示例：

\[\begin{bmatrix} 2& 2\end{bmatrix}_{norm} { =\frac{\begin{bmatrix}2& 2\end{bmatrix}}{\sqrt{2^2+2^2}}\\ =\frac{\begin{bmatrix}2& 2\end{bmatrix}}{\sqrt{8}}\\ =\frac{\begin{bmatrix}2& 2\end{bmatrix}}{2.83}\\ =\begin{bmatrix} 0.71&-0.71\end{bmatrix} } \]

几何意义：

7.向量的加法和减法

运算公式：

• 向量的加法

\[{ \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3\\{...}\\a_{n-1}\\a_n\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\{...}\\b_{n-1}\\b_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\\{...}\\a_{n-1}+b_{n-1}\\a_n+b_n\end{bmatrix} } \]

• 向量的减法

\[{ \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3\\{...}\\a_{n-1}\\a_n\end{bmatrix}- \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\{...}\\b_{n-1}\\b_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\\{...}\\a_{n-1}-b_{n-1}\\a_n-b_n\end{bmatrix} } \]

示例：

\[{ \mathbb{a}=\begin{bmatrix} 1\\2\\1\end{bmatrix}, \mathbb{b}=\begin{bmatrix} 2\\2\\1\end{bmatrix}\\ \mathbb{a}+\mathbb{b}= \begin{bmatrix} 1\\2\\1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2\\2+2\\1+1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\\4\\2\end{bmatrix}\\ \mathbb{a}-\mathbb{b}= \begin{bmatrix} 1\\2\\1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2\\2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2\\2-2\\1-1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1\\0\\0\end{bmatrix} } \]

几何意义：

7.向量的距离公式

运算公式：

\[(\mathbb{a},\mathbb{b}) = \begin{Vmatrix} \mathbb{b-a}\end{Vmatrix}=\sqrt{(b_x-a_x)^2-(b_y-a_y)^2} \]

示例：

\[Distance(\begin{bmatrix} 5&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1&8\end{bmatrix}) { =\sqrt{(-1-5)^2+(8-0)^2}\\ =\sqrt{(-6)^2+(8)^2}\\ =\sqrt{36+84}\\ =10 } \]

8.向量点乘

运算公式：

\[{ \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3\\{...}\\a_{n-1}\\a_n\end{bmatrix}\bullet \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\{...}\\b_{n-1}\\b_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1b_1\\a_2b_2\\a_3b_3\\{...}\\a_{n-1}b_{n-1}\\a_nb_n\end{bmatrix} \Longleftrightarrow\mathbb{a}\bullet\mathbb{b} = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i } \]

示例：

\[\begin{bmatrix} 3\\1\\2\end{bmatrix}\bullet\begin{bmatrix} 1\\-1\\2\end{bmatrix}=(3)(1)+(1)(-1)+(2)(2)=6 \]

几何意义：

点乘结果描述了两个向量的相似程度，点乘结果越大，两向量越相近。点乘等于向量大小与向量夹角的 \(\cos\) 值的积：

\[{ \mathbb{a}\bullet\mathbb{b} = \begin{Vmatrix} \mathbb{a}\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} \mathbb{b}\end{Vmatrix}\cos\theta\\ \theta=\arccos \begin{pmatrix} \frac{\mathbb{a}\bullet\mathbb{b}}{ \begin{Vmatrix} \mathbb{a}\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} \mathbb{b}\end{Vmatrix}}) \end{pmatrix} } \]

几何表现：

注意：如果是单位向量，上述公式可以为：

\[\theta=\arccos\begin{pmatrix}\mathbb{a}\bullet\mathbb{b}\end{pmatrix}(\mathbb{a}和\mathbb{b}是单位向量) \]

如果不需要\(\theta\)的确切值而只需要a和b的夹角类型，可以只取用点乘结果的符号，如下表所示：

\(\mathbb{a}\bullet\mathbb{b}\)	\(\theta\)	\(\mathbb{a}和\mathbb{b}\)
\(>0\)	\(0^0\leq\theta<90^0\)	方向基本相同
\(0\)	\(\theta=90^0\)	正交
\(<0\)	\(90^0<\theta\le180^0\)	方向基本相反

几何参考见下图：

9.向量投影

给定两个向量\(\mathbb{v}\)\(和\)\(\mathbb{w}\),能将\(\mathbb{v}\)分解成两个分量：\(\mathbb{v}_{||}\)和\(\mathbb{v}_{\bot}\)。他们分别平行和垂直于\(\mathbb{w}\),并且满足\(\mathbb{v}=\mathbb{v}_{||}+\mathbb{v}_{\bot}\)。一般称平行分量\(\mathbb{v}_{||}\)为\(\mathbb{v}\)在\(\mathbb{w}\)上的投影，几何解释如下图所示：

运算公式：

投影公式：

\[{ \mathbb{v_{||}} { =\mathbb{w}\frac{\begin{Vmatrix} \mathbb{v}\end{Vmatrix}\cos\theta}{\begin{Vmatrix} \mathbb{w}\end{Vmatrix}}\\ =\mathbb{w}\frac{\begin{Vmatrix} \mathbb{v}\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix} \mathbb{w}\end{Vmatrix}\cos\theta}{\begin{Vmatrix} \mathbb{w}\end{Vmatrix}^2}\\ =\mathbb{w}\frac{\mathbb{v}\bullet\mathbb{w}}{\begin{Vmatrix} \mathbb{w}\end{Vmatrix}^2}\\ } } \]

垂线段公式：

\[{ \mathbb{v}_\bot { =\begin{Vmatrix} \mathbb{v}\end{Vmatrix}-\mathbb{v_{||}}\\ =\begin{Vmatrix} \mathbb{v}\end{Vmatrix}-\mathbb{w}\frac{\mathbb{v}\bullet\mathbb{w}}{\begin{Vmatrix} \mathbb{w}\end{Vmatrix}^2} } } \]

10.向量投影向量叉乘

叉乘公式：

\[{ \begin{bmatrix} x_1\\y_1\\z_1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x_2\\y_2\\z_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y_1z_2-z_1y_2\\z_1x_2-x_1z_2\\x_1y_2-y_1x_2\end{bmatrix} } \]

示例：

\[{ \begin{bmatrix} 1\\3\\4\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 2\\-5\\8\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (3)(8)-(4)(-5)\\(4)(2)-(1)(8)\\(1)(-5)-(3)(2)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 44\\0\\-10)\end{bmatrix} } \]

几何意义，叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量(重要：通常用来计算法线)：

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参考资料：《3D数学基础：图形与游戏开发》