Solution Set - 杭电多校 2022 Day4 一句话题解

A：设 \(f_{i,j}\) 表示 \([i,j]\) 改成合法括号序列的方案，\(g_{i,j}\) 表示 \([i,j]\) 改成合法括号序列并且最外一层是 \(i,j\) 这两个括号的方案，区间 DP 即可，时间复杂度 \(O(n^3)\)，因为跑不满可过。

B：将边权为 \(\{0,0\}\) 的环进行缩点，对第一维跑出最短路 DAG，DAG 上 dfs 一次即可。

C：设放置水晶前缀和的数组为 \(a_i\)，可以改写出三种不等式的形式，分别是：

• \(a_i-a_{i-1}\ge 0\)；
• \(a_{i+k}-a_{i-k-1}\ge p_i\)；
• \(a_{R_i}-a_{L_i-1}\le B_i\)。

是差分约束系统，建图跑 SPFA 即可。

D：输出 No 即可，证明不会，建议去看官方题解。

E：考虑双指针，因为每一次往后移是单调的，使用向量乘矩阵可以做到单次移 \(r\) 是 \(O(m^2)\)，但是移 \(l\) 不行，实际上也很暴力，使用线段树查询 \([l+1,r]\) 的答案即可。

真不想写，代码鸽了。

F：据说是模拟题，队友过了，不想了。

G：路径一定是向上跳之后向下走，二分确定路径的跳点即可。

I：首先将 \(d_i\) 分 \(>0\) 和 \(<0\) 考虑，\(d_i>0\) 一定先打，\(d_i<0\) 一定后打。

先考虑 \(d_i\) 非负的情况，考虑到如果要满星打过第 \(i\) 关，需要 \(s_i-d_i\) 的能力值，此时一路打下来能力值单调不降，所以首先按照 \(s_i-d_i\) 排序，注意到 \(s_i-d_i\) 过大的时候会导致打不动然后摸个 \(d_i\) 跑路，而让前面的更优。

用一个堆记录下来可能摸个 \(d_i\) 跑路的关卡。考虑从后往前地放弃关卡，分两种情况：

1. 可以搞定，那么我们可以将这个关卡暂时先放进堆内，此时可能存在这个关卡牺牲掉满分然后保住另一个关卡。
2. 不能搞定，我们先考虑牺牲堆中的关卡，假设堆中最大的关卡是 \(j\)，很显然牺牲掉 \(d\) 更大的关卡更优。

\(d_i<0\) 类似，做完了。

哈哈好口胡。

J：遇到博弈题可以考虑从结束情况开始。

当 \(n=2m\) 时，局面已经固定，数出交点个数即可。

当 \(n=2m-1\) 时，存在两种情况可以使 Bob 操纵奇偶性：

• 奇数条斜率相同的直线，平行与新开一个斜率。
• 奇数条直线交于一个点，新开一个斜率，过这个点还是不过这个点。

此时 Bob 必胜，否则 Bob 无法改变奇偶性，数出交点个数即可。

当 \(n=2m-2\) 时，Alice 一定不希望使 Bob 在 \(n=2m-1\) 的时候直接胜出，需要删除掉使 Bob 操纵奇偶性的情况，可以扫一遍求出这条直线，加上之后运行 \(n=2m-1\) 的解法即可。

当 \(n=2m-3\) 时，Bob 希望不使 Alice 操控奇偶性的情况，考虑如下情况：

1. 存在一个被偶数条直线经过的交点，这个时候只要随意添加一条直线 Alice 就操作不了了，Bob 必胜。
2. 存在一个被奇数条直线经过的交点，这个时候只要随意添加一条直线 Alice 就操作不了了，因为可以证明不会有多个这样的点，Bob 必胜。
3. 剩下的就是平行，需要判断此时直线的个数，如果为偶数则 Alice 必胜，因为 Alice 只要画与 Bob 平行的直线就能搞定，否则 Bob 必胜。

当 \(n=2m-4\) 时，Alice 唯一能赢的机会就是平行，加一条运行 \(n=2m-4\) 的解法即可。

当 \(n\le 2m-5\) 时，Bob 只要制造交点就能在 \(n=2m-3\) 时薄纱 Alice，Bob 必胜。

K：【模板】线性基，证明请看官方题解。