Solution Set - 杭电多校 2022 Day3 一句话题解

A：设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 升级到 \(i+1\) 的期望花费，\(sw_i\) 为 \(w_i\) 的前缀和，\(sf_i\) 为 \(f_i\) 的前缀和，有 DP 式子：

\[\begin{aligned} f_i& =c_i+\frac{1-p_i}{sw_i}\sum^i_{j=1}w_j\sum^i_{k=i-j} f_i\\ f_i& =c_i+\frac{1-p_i}{sw_i}\sum^i_{j=1}w_j(sf_{i-1}-sf_{i-j-1}+f_i)\\ f_i& =c_i+sf_{i-1}(1-p_i)+f_i(1-p_i)-\frac{1-p_i}{sw_i}\sum^i_{j=1}w_jsf_{i-j-1}\\ p_if_i& =c_i+sf_{i-1}(1-p_i)-\frac{1-p_i}{sw_i}\sum^i_{j=1}w_jsf_{i-j-1} \end{aligned} \]

后面是一个显然的分治 NTT 形式，直接做就行了，时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

B：感觉自己很愚昧嗷。二分 boss 被杀死的时间，使用状压 DP 计算伤害即可，时间复杂度 \(O(2^n\log 2\times 10^7)\)。

C：SMWY，SBT。

E：考虑拆边，模拟 Kruskal 的过程，我们钦点全部的首先取较大的边权，并拆边为 \(\{u,v,a,0/1\}\) 和 \(\{u,v,b,0/-1\}\)，后一个权值表示加入这条边对选择 \(k\) 的个数的影响。

对边进行排序，按权值从小到大，权值相同的优先考虑 \(1/-1\) 排序。

考虑状压 DP，设 \(f_{i,S,j}\) 表示目前在第 \(i\) 条边，考虑第 \(i\) 条边选或者不选，当前连通性的最小表示为 \(S\)，目前用了 \(j\) 个 \(a\)，考虑选与不选合并连通性的情况，可以的到 DP 式。

F：果然几何结论不熟悉就很蠢，注意到随机情况下的二维凸包是 \(O(\log n)\)，建立线段树维护区间凸包，向上合并的时候归并排序求凸包。

询问的时候，先求出凸包然后最小圆覆盖即可，时间复杂度 \(O(q\log^2 n)\)。

I：排序后贪心。

J：设 \(f_{i,j}\) 表示从 \(i\) 出发只经过 \([l_j,r_j]\) 之间的边能否到达 \(v_j\)，最后只需要求出 \(f_{u_j,j}\) 即可。

考虑怎么求这个，建出反向的 DAG，对于一条边 \(u\to v\)，需要更新 \(f_v\to f_u\land S\)，考虑如何求出这个 \(S\)，分块预处理即可。

K：分四个方向讨论即可。

L：随便 DP 就行了。