AHOI2009 中国象棋 题解

• https://www.luogu.com.cn/problem/P2051

在棋盘上摆若干个炮，使得炮之间不攻击，求方案个数 \(\bmod 9999973\) 的值。

考虑 DP，设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 行有 \(j\) 列放了一个炮，有 \(k\) 行放了两个炮。

对于第 \(i\) 行不放的方案：\(dp_{i,j,k}=dp_{i,j,k}+dp_{i-1,j,k}\)。

对于第 \(i\) 行放一个炮的方案，分情况讨论：

• 炮放在当前行无炮的列中：\(dp_{i,j,k}=dp_{i,j,k}+dp_{i-1,j-1,k}\times (m-j-k+1)\)。
• 炮放在当前行有一个炮的列中：\(dp_{i,j,k}=dp_{i,j,k}+dp_{i-1,j+1,k-1}\times (j+1)\)。

对于第 \(i\) 行放两个炮的方案，分情况讨论：

• 炮全放在当前行无炮的列中：\(dp_{i,j,k}=dp_{i,j,k}+dp_{i-1,j-2,k}\times C_{m-j-k+2}^2\)。
• 炮一个放在无炮的列，一个放在有一个炮的列：\(dp_{i,j,k}=dp_{i,j,k}+dp_{i-1,j,k-1}\times j\times (m-j-k+1)\)。
• 炮全放在当前有一个炮的列中：\(dp_{i,j,k}=dp_{i,j,k}+dp_{i-1,j+2,k-2}\times C_{j+2}^2\)。

于是这题就做完了，时间复杂度 \(O(nm^2)\)。