[BZOJ2138]stone(Hall定理，线段树)
Description
话说Nan在海边等人，预计还要等上M分钟。为了打发时间，他玩起了石子。Nan搬来了N堆石子，编号为1到N，每堆
包含Ai颗石子。每1分钟，Nan会在编号在\([L_i,R_i]\)之间的石堆中挑出任意Ki颗扔向大海（好疼的玩法），如果\([L_i,R_i]\)剩下石子不够\(K_i\)颗，则取尽量地多。为了保留扔石子的新鲜感，Nan保证任意两个区间\([L_i,R_i]\)和\([L_j,R_j]\)，不会存在\(L_i<=L_j\& R_j<=R_i\)的情况，即任意两段区间不存在包含关系。可是，如果选择不当，可能无法扔出最多的石子，这时Nan就会不高兴了。所以他希望制定一个计划，他告诉你他m分钟打算扔的区间\([L_i,R_i]\)以及\(K_i\)。现在他想你告诉他，在满足前i-1分钟都取到你回答的颗数的情况下，第i分钟最多能取多少个石子。
\(n\le 40000\)
Solution
Hall定理：
设二分图中\(\text{G=< V1,V2,E >}\)中 \(\text{|V1|=m<=|V2|=n}\) ,\(\text{G}\)中存在从 \(\text{V1}\)到\(\text{V2}\)的完全匹配当且仅当\(\text{V1}\)中任意\(\text{k(k=1,2,...,m)}\)个顶点至少与\(\text{V2}\)中\(\text{k}\)个顶点是相邻的。
建立二分图匹配模型，左部节点为石头（每个点拆为A[i]个点），右部节点为需求（每个点拆为K[i]个点），从小到大依次加入右部节点，然后询问在之前需求点匹配数不变的情况下该点最多能匹配的点数。
不难发现最后是一部分完美匹配+一部分不完美匹配，根据hall定理，一些点具有完美匹配要求任取左部区间，该区间石头数大于等于包含在区间内的需求数。
那么设 \(a[i]\) 表示右端点 \(\le i\) 的区间需求量， \(b[i]\) 为左端点 \(\le i\) 的区间的需求量。
那么区间 \([l,r]\) ：
石子数 \(=s[r] - s[l - 1]\)
需求数 \(=a[r] - b[l - 1]\)
那么只要满足 \(\forall 0 \le i < j \le n\)，
设 \(f[i] = s[i] - a[i], g[i] = s[i] - b[i]\)。
考虑区间 \([l,r]\) 满足 \(k\) 的需求量造成的影响。
接下来分类讨论，列出不等式：
当 \(k\) 取 \(min(f[r+1...n]) - max(g[0...l-1])\) 时最优。
用线段树维护即可。
Code
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <fstream>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define DE(x) cerr << x << endl;
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;
#define rep(i, a, b) for (register int (i) = (a); (i) <= (b); ++(i))
using namespace std;
inline void proc_status()
{
ifstream t("/proc/self/status");
cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>()) << endl;
}
inline int read()
{
register int x = 0; register int f = 1; register char c;
while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
return x * f;
}
template<class T> inline void write(T x)
{
static char stk[30]; static int top = 0;
if (x < 0) { x = -x, putchar('-'); }
while (stk[++top] = x % 10 xor 48, x /= 10, x);
while (putchar(stk[top--]), top);
}
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
const int maxN = 4e4;
int n, m;
int s[maxN + 2], K[maxN + 2];
#define ls (x << 1)
#define rs (x << 1 | 1)
#define Rson rs, mid + 1, r
#define Lson ls, l, mid
int f[maxN << 2], g[maxN << 2], tagG[maxN << 2], tagF[maxN << 2];
void pushup(int x)
{
f[x] = min(f[ls], f[rs]);
g[x] = max(g[ls], g[rs]);
}
void build(int x, int l, int r)
{
if (l == r) { f[x] = g[x] = s[l]; return; }
int mid = l + r >> 1;
build(Lson); build(Rson);
pushup(x);
}
void pushG(int x, int k)
{
tagG[x] += k;
g[x] += k;
}
void pushF(int x, int k)
{
tagF[x] += k;
f[x] += k;
}
void pushdown(int x)
{
if (tagG[x] != 0)
{
pushG(ls, tagG[x]);
pushG(rs, tagG[x]);
tagG[x] = 0;
}
if (tagF[x] != 0)
{
pushF(ls, tagF[x]);
pushF(rs, tagF[x]);
tagF[x] = 0;
}
}
void addF(int x, int l, int r, int L, int R, int k)
{
if (L <= l and r <= R) { return pushF(x, k); }
int mid = l + r >> 1;
pushdown(x);
if (L <= mid) addF(Lson, L, R, k);
if (R > mid) addF(Rson, L, R, k);
pushup(x);
}
void addG(int x, int l, int r, int L, int R, int k)
{
if (L <= l and r <= R) { return pushG(x, k); }
int mid = l + r >> 1;
pushdown(x);
if (L <= mid) addG(Lson, L, R, k);
if (R > mid) addG(Rson, L, R, k);
pushup(x);
}
int queryG(int x, int l, int r, int L, int R)
{
if (L <= l and r <= R) { return g[x]; }
int mid = l + r >> 1;
pushdown(x);
int ans = -0x3f3f3f3f;
if (L <= mid) chkmax(ans, queryG(Lson, L, R));
if (mid < R) chkmax(ans, queryG(Rson, L, R));
return ans;
}
int queryF(int x, int l, int r, int L, int R)
{
if (L <= l and r <= R) { return f[x]; }
int mid = l + r >> 1;
pushdown(x);
int ans = 0x3f3f3f3f;
if (L <= mid) chkmin(ans, queryF(Lson, L, R));
if (mid < R) chkmin(ans, queryF(Rson, L, R));
return ans;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("stone.in", "r", stdin);
freopen("stone.out", "w", stdout);
#endif
int x, y, z, P;
scanf("%d", &n);
scanf("%d%d%d%d", &x, &y, &z, &P);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
s[i] = s[i - 1] + ((i - x) * (i - x) + (i - y) * (i - y) + (i - z) * (i - z)) % P;
scanf("%d", &m);
scanf("%d%d%d%d%d%d", &K[1], &K[2], &x, &y, &z, &P);
for (int i = 3; i <= m; ++i)
K[i] = (1ll * x * K[i - 1] + 1ll * y * K[i - 2] + z) % P;
build(1, 0, n);
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
int L, R, k;
scanf("%d%d", &L, &R);
printf("%d\n", k = min(queryF(1, 0, n, R, n) - queryG(1, 0, n, 0, L - 1), K[i]));
addF(1, 0, n, R, n, -k);
addG(1, 0, n, L, n, -k);
}
return 0;
}
