数组1：二分查找（704）

       我们知道，数组是非常基础的数据结构，因此刷题一般都从数组方面的题开始。考察数组的题目一般在思维上都不难，主要是考察对代码的掌控能力。因此，解决这种问题的想法很简单，但实现起来往往并不那么容易。

       在做数组题之前，我们要简单了解一下数组相关的理论基础。

       关于数组在内存中的存储方式，首先要知道数组是存放在连续内存空间上的相同类型数据的集合。其中，数组下标都是从0开始的，且数组内存空间的地址是连续的。

       而正因为数组的在内存空间的地址是连续的，所以在删除或者增添元素的时候，通常要移动其他元素的地址。而且，数组的元素是不能删的，只能覆盖。

       另外，在C++中二维数组在地址空间上也是连续的。

 

       下面我们来看这一题：（链接：https://leetcode.cn/problems/binary-search/）

       题目：给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target  ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

 

       思路：我们写二分法容易写乱，主要的原因就是对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。下面对这两种情况分别分析。

 

       1.左闭右闭区间：

       在这种情况下，while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=。

       而且，if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1。

       因此，代码如下：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

 

 

       2.左闭右开区间：

       同样地，如果是在左闭右开区间，while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的。

       而且，if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]。

       所以，代码如下：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

 

 

       总结来看，二分法是非常重要的基础算法，我们写二分法容易出错的主要原因，其实就是对区间的定义没有理解清楚，在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。因此，我们在处理二分法的问题时，要深刻理解二分法，始终坚持循环不变量规则，这样才能做好这类题。