「CodeTON Round 8」E.Farm Game

这道题的难点和有意思的点在于博弈论这一块儿，其他的比如组合数学，其实是很偏板子的，所以我们主要讨论博弈论。

不失一般性，假设第一个牛是 FJ 的，然后我们得到牛的序列 \(a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots,a_n,b_n\)，然后设 \(d_1\) 为 \(a_1\) 和 \(b_1\) 之间的距离，\(d_2 \sim d_n\) 类似得出。我们发现如果想要让游戏胜负已定，其实就是让所有的 \(d_i\) 都为 \(0\) 即可，这时候虽然有可能有的牛可以移动，但他移动后他旁边的牛直接去到他移动前的位置即可，最后一定会某个操作者的所有牛无法移动。所以我们只要知道了谁在移动之后使得所有的 \(d_i\) 都为 \(0\)，我们就知道了谁会赢。

我们思考一个常识，\(0\) 是偶数。因此，对于一个人（我们提前称他为失败者）来说，如果当前所有 \(d_i\) 都为偶数，那么他不管怎么移动牛们，牛们旁边的牛总能再次移动，使得这些 \(d_i\) 重新变为偶数。这些 \(d_i\) 会越来越小，因为失败者对面的人（我们提前称他为胜利者）一定有办法让这些 \(d_i\) 不变或变小，最终，所有的 \(d_i\) 都变为了最小的偶数 \(0\)，我们可以正式宣布输赢了。

既然一个人面对所有 \(d_i\) 是偶数的情况时会失败，那么我们初始局面只要不让 FJ 面临这样的情况，他就可以把局面转化成这样的情况，留给 FN 处理。

这时候的计算就十分简单了，只要枚举 \(d_i\) 的总和，然后利用插板法和简单的组合数运算就可以了，详见代码。

Code