CF1765A Access Levels 题解

根据题意，发现要把矩阵一列一列的分组，所以我们从列出发，而不是行。

首先考虑两列如何才能在一组。假设两列存在包含关系，就可以在一组。证明为：

1. 假设两列不存在包含关系，那么一定存在两行，第一列这行是 \(0\)，第二列是 \(1\)，另一行呢，便是第一列是 \(1\)，第二列是 \(0\)。容易发现如果单单考虑这两行便不能在一起，那么两列就一定不能包含在一起。由于这样的两行是对称的，所以两列的权限要求一定是相等的，而这时候用户无论有什么样的访问权限，都不能满足要求。

2. 假设这一组每两列都存在包含关系，那么我们可以直接构造出方案，不用特意证明。

构造：

• 单独考虑每一组。把这一组的每一列都赋一个权值，等于这一列的 \(1\) 的个数，由于 \(1\) 越多，这一列就需要被越多用户访问到，所以他的权限要求就越小，那么把这些列排序后，从大到小依次把权限要求设置为 \(2,3,4,\cdots,k\)（从 \(2\) 开始是为了给下面的构造留值） 即可。

• 我们把这些列排序完就会发现，每一行都是 \(111 \cdots 000\)，因为这些列存在包含关系。那么我们这一行的用户，直接枚举这一行有多少个 \(1\)，记为 \(x\)，则他的访问权限就是 \(x + 1\)，意味着他可以访问前 \(x\) 个文件，\(+ 1\) 是因为权限必须是正整数。

现在只要找到最小分组并构造出来即可。上图。\(n \le 500\)，所以可以直接暴力寻找哪些列包含哪些列，设 \(i\) 包含 \(j\)，则连边 \(i\) -> \(j\)，因为如果 \(i\) 包含 \(j\)，\(j\) 包含 \(k\)，则 \(i\) 一定包含 \(k\)，所以我们只需要找到几条链覆盖所有点即可。发现这是最小路径覆盖，可以二分图，我写了网络流，构造出来方案就行了。

我的网络流笔记 里面网络流板子讲的比较简略，但是最小路径覆盖可以参考参考。

代码比较丑，因为写了不少假做法。