editorial - subset sum

subset sum 题解

Subtask 1

因为 \(c\le 5000\)，输出 \(c\) 个 \(w\) 即可。

Subtask 2

考虑让本质不同的方案尽可能少，比如只有两种。（Subtask 1 中只需一种）

当 \(w\) 为偶数时，任意两个 \(w/2\) 可以凑成一个 \(w\)。那么，如果总共放 \(a\) 个 \(w/2\)，就能贡献 \(\dbinom{a}{2}\) 种方案。这时余下还需要的方案不会太多，沿用 Subtask 1 的做法，再放上 \(c-\dbinom{a}{2}\) 个 \(w\) 即可。

通过计算可以发现 \(c\le 3\times 10^6\) 时，这种做法最多使用不超过 \(4900\) 个物品。

那么，\(w\) 是奇数怎么办呢？可以发现加一个 \(1\) 就能（大部分情况下）不影响答案地归约到 \(w-1\) 的情况，因为如果不选这个 \(1\)，只用两个 \((w-1)/2\) 是凑不出 \(w\) 的。

这种做法只在 \(w=3\) 时会出问题。特判它，枚举放了 \(a\) 个 \(1\)，\(b\) 个 \(2\)，那么就有 \(\dbinom{a}{3}+ab\) 种方案，挑一个跟 \(c\) 最接近的就行。通过计算，可以发现这样做用的物品数只有 \(\displaystyle O\left(\sqrt[3] c\right)\)，并不影响大局。

Subtask 3

做法很多。比较容易从 Subtask 2 想到的是这种。

结合 \(w=3\) 时的做法和 \(w\) 是奇数的处理方法，当 \(w\bmod 3=0\) 时沿用 \(w=3\) 的做法，把 \(1,2,3\) 分别改为 \(w/3,2w/3,w\) 就行；否则先放一个 \(w\bmod 3\)，再按照 \(w\bmod 3\) 的做法处理。

这个做法需要特判掉 \(w=4,5,8\) 的情况。

\(w=4,5\) 时本质不同的方案很少，把式子列出来然后枚举就行。\(8\) 是 \(4\) 的倍数，完全可以利用 \(w=4\) 的做法。

这个做法最多需要 \(4543\) 个物品，可以通过本题。

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Subtask 3 的瓶颈在于 \(w=3\)，然而 \(w=3\) 的情况其实已经是不可改进的了。
可以发现，这个问题中最难的部分是 \(w\) 比较小的情况。